Примеры решения
иррациональных уравнений.


Первый метод


Решить уравнение:

√х-1  + √2х+6 = 6


Решение:

1) Преобразуем уравнение к виду √2х+6  =  6-√х-1 и возведем обе части в квадрат.

(√2х+6)²=(6- √х-1)²  и далее ;
2х+6=36 -   12√х-1   +  х-1,
т.е. 12√х-1  =  29-х

2)Еще раз возведем обе части в квадрат:

144(х-1) = (29-х²),
т.е. х²-202х +985=0, откуда
х=5,
х′ = 197.

Делаем проверку:      При х = 5, имеем   √5-1  +  √2*5+6 = 6 Значит, х=5 является корнем заданного уравнения.
√197-1  +  √2*197+6 не равно 6.Таким образом, х = 197-посторонний корень.
Ответ:  х=5.


Второй метод

Решить уравнение:


(х-2)2/5- (х-2)1/5=2.


Решение:

Применим метод введения новой переменной.
Положим y=(х-2)1/5.
Тогда (х-2)2/5=y², и мы получаем уравнение y²-y -2=0, откуда находим y=2, y′ = -1.
Теперь задача свелась к решению двух уравнений:

(х-2)1/5=2,
(х-2)1/5=-1.

Возведя обе части уравнения в пятую степень, получим:

х-2=32,откуда х= 34.

Уравнение (х-2)1/5=-1 не имеет корней, посколькупод знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число., а любая степень неотрицательного числа-неотрицательное число.
Ответ:   х=5.