АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Неравенства с одной переменной
Неравенством с одной переменной называется неравенство, содержащее одну независимую переменную.
Неравенства с переменными называют иногда функциональными неравенствами.
Пусть дано неравенство с одной переменной f(x) > g(x)
(вместо знака > могут быть знаки <,
,
). Областью определения неравенства f(x) > g(x)
называется пересечение областей определения функций f(x) и g(x).
Решением неравенства называется всякое значение переменной, при котором исходное неравенство с переменной обращается
в верное числовое неравенство. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать,
что решений нет. Два неравенства с одной переменной называются равносильными (эквивалентными),
если решения этих неравенств совпадают; в частности, неравенства равносильны, если они не имеют решений.
При решении неравенств пользуются следующими основными теоремами о равносильности неравенств.
Основные теоремы о равносильности неравенств:
- Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком,
то получится неравенство, равносильное исходному.
- Если к обеим частям неравенства f(x)>g(x) прибавить (или вычесть) любую функцию j(х),
то получится неравенство равносильное исходному при условии, что области определения
полученного и исходного неравенств совпадают.
- Если обе части неравенства f(x)>g(x) умножить (или разделить) на любую функцию j(х),
сохраняющую постоя знак и отличную от нуля, то при j(х) > 0 получается неравенство, равносильное исходному,
а при j(х) < 0 равносильным исходному будет неравенство противоположного смысла (предполагается,
что области определения полученного и исходного неравенств совпадают).
Таким образом, можем записать: