АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

Неравенства с одной переменной

Неравенством с одной переменной называется неравенство, содержащее одну независимую переменную. Неравенства с переменными называют иногда функциональными неравенствами. Пусть дано неравенство с одной переменной f(x) > g(x) (вместо знака > могут быть знаки <, меньше и равно, больше и равно ). Областью определения неравенства f(x) > g(x) называется пересечение областей определения функций f(x) и g(x). Решением неравенства называется всякое значение переменной, при котором исходное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Два неравенства с одной переменной называются равносильными (эквивалентными), если решения этих неравенств совпадают; в частности, неравенства равносильны, если они не имеют решений. При решении неравенств пользуются следующими основными теоремами о равносильности неравенств.

Основные теоремы о равносильности неравенств:

  1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное исходному.
  2. Если к обеим частям неравенства f(x)>g(x) прибавить (или вычесть) любую функцию j(х), то получится неравенство равносильное исходному при условии, что области определения полученного и исходного неравенств совпадают.
  3. Если обе части неравенства f(x)>g(x) умножить (или разделить) на любую функцию j(х), сохраняющую постоя знак и отличную от нуля, то при j(х) > 0 получается неравенство, равносильное исходному, а при j(х) < 0 равносильным исходному будет неравенство противоположного смысла (предполагается, что области определения полученного и исходного неравенств совпадают). Таким образом, можем записать: