Какое место занимает функция в уравнениях и неравенствах.
• Изучая какой-нибудь реальный процесс, обычно обращают внимание на две или несколько величин, участвующих в одном процессе. Одни из них меняются как бы сами по себе, независимо ни от чего (такие переменные обычно обозначают буквой х), а другие величины принимают значения, которые зависят от выбранных значений х ( такую зависимую переменную часто обозначают у).Пример таких зависимостей ярче всего видны в физике. Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть координата х точки в момент времени t равна х(t). Предполагаем, что движение осуществляется непрерывно и плавно. Иными словами, речь идёт о движениях, наблюдаемых в реальной жизни. Для определённости будем считать, что речь идёт о движении автомобиля по прямолинейному участку шоссе. Таким образом, любое перемещение тела в пространстве, периодические изменения каких – либо величин, связанных между собой, можно представлять математической моделью реального процесса, принимающей следующий вид:
у = f(x)
И эту запись следует понимать так: имеется выражение f(x) с переменной х, с помощью которой находятся значения
переменной у. Подобную зависимость именуют функциональной и выражают в виде функции.
• Исходя из этих соображений, любое уравнение в математике есть функция. Возьмём, к примеру, уравнение следующего вида:
2 + х = 0
Данное выражение можно расшифровать так: при каком-то значении независимой переменной х, действующее значение у равно нулю. Действительно, если х = -2, то данное равенство выполняется:
2 - 2 = 0, 0 = 0
Итак, можно сделать вывод, что при х = -2, действующее значение функции равно нулю.
• А как обстоит дело с неравенствами? Все очень просто. Например, мы имеем запись вида:
2 + х >0
Данное выражение говорит о том, что при определённых значениях независимой переменной х , функция у = 2 + х больше нуля.
Действительно, решив данное неравенство, что х > -2. Таим образом, если х = -1, то 2 - 1 = 1, 1 > 0, если х = 100,
то 100 + 2 = 102, а 102 > 0 , следовательно, если переменная х будет принимать значения в пределах (– 2; + ∞) эта функция всегда будет больше нуля, но -2 из данного интервала исключено потому, потому что неравенство строгое.
• Итак, любая зависимость является функциональной и выражается в виде функции. Уравнения и неравенства есть нечто иное, как функции, значит, для их решения необходимо найти те значения независимых переменных, при которых данная функция принимает определённое действующее значение. Следовательно, при решении уравнений и неравенств можно пользоваться свойствами функций и их графиками, что удобно во многих случаях.