Решение показательных неравенств

Показательные неравенства - неравенства, содержащие переменные в показателе степени.


Неравенства вида af(x) > ag(x)

Решение неравенств подобного вида основано на следующих утверждениях:

Пример 1. Решить неравенство 16x > 0,125.

Р е ш е н и е. 16x = (24)x = 24x , 0,125 = 1/8 = 2-3 , отсюда 16x > 0,125 ↔ 24x > 2-3 ↔ 4x > -3 ↔ x > -3/4. .

Ответ: x принадлежит (-3/4;+бесконечность).


Неравенства вида af(x) > b , а > 0

Необходимо рассмотреть два случая:
  1. b < 0 , тогда af(x) > b ↔ х принадлежит D(f) ;
  2. b > 0 , тогда
    af(x) > b ↔ f(x) > logab
    при а > 1;
    af(x) > b ↔ f(x) > logab при 0 < a < 1.
При а = 1 исходное неравенство af(x) > b равносильно числовому неравенству 1 > b при х принадлежит D(f).

Пример 2. Решить неравенство 2x > 5.

Р е ш е н и е. 2x > 5 ↔ 2x > 2log25 ↔ x > log25.

Ответ: x принадлежит (log25;+бесконечность).


Неравенства вида af(x) > bφ(x)

При решении неравенств подобного вида применяют логарифмирование обеих частей по основанию а или b. Учитывая свойства показательной функции, получаем
af(x) > bφ(x) ↔ f(x) > φ(x)logab, если a > 1;
af(x) > bφ(x) ↔ f(x) < φ(x)logab, если 0 < a < 1.

Пример 3. Решить неравенство 2x > 3x2.

Р е ш е н и е. Прологарифмируем обе части исходного неравенства по основанию 2:
2x > 3x2 ↔ log2(2x) > log2(3x2) ↔ x > x2log23 ↔
↔ x - x2log23 > 0 ↔ x(1 - xlog23) > 0 ↔ x принадлежит (0;1/(log23)) ↔ x принадлежит (0;log32)
.

Ответ: x принадлежит (0;log32).


Решение показательных неравенств методом замены переменной

Пример 4. Решить неравенство 9x + 27 < 12 • 3x.

Р е ш е н и е. Пусть3x = t, тогда исходное неравенство равносильно такому:
t2 - 12t + 27 < 0 ↔ 3 < t < 9 ↔ 3 < 3x < 9 ↔ 31 < 3x < 32 ↔ 1 < x < 2.

Ответ: x принадлежит (1;2).


Решение неравенств, содержащих однородные функции относительно показательных функций

Пример 5. Решить неравенство 2 • 9x - 5 • 6x + 3 • 4x > 0.

Р е ш е н и е. Разделив обе части исходного неравенства на 9x неравно 0, получим 2 - 5 • (2/3)x + 3 • (2/3)2x > 0. Обозначим (2/3)x = t, тогда имеем
3t2 - 5t + 2 > 0 ↔

Ответ: x принадлежит (-бесконечность;0) U (1;+бесконечность).