Основные понятия,
относящиеся к уравнеиям.

    Равенство вида

f(x) = g(x),

где f(x) и g(x) – некоторые функции, называют уравнением с одним неизвестным х.
    Это равенство может оказаться верным при одних значениях х и неверным при других значениях х. Всякое значение переменной х, при котором выражения f(x) и g(x) принимают равные числовые значения называется корнем уравнения.
Решить уравнения - значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Например:

Уравнение 3+х=7 имеет единственный корень - 4, так как при этом и только при этом значении переменной 3+х=7 - верное равенство.
Уравнение (х - 1)(х - 2) = 0 - имеет два корня -1 и 2.
Уравнение х²+1=0 - не имеет действительных корней. ( Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение
     х²+1=0 имеет два мнимых корня: х = i, х′=-i.)


     Если в условиях задачи не указано, на каком множестве нужно решить уравнение, то решение следует искать на ОДЗ ( Область Допустимых Значений - множество корней, при которых уравнение имеет смысл) этого уравнения.
    В процессе решения часто приходится преобразовывать уравнение, заменяя его более простым ( с точки зрения нахождения корней). Есть одно правило, которое не следует забывать:

нельзя выполнять преобразования, которые приводят к потере корней.

    Назовём преобразование уравнения f(x) = g(x) допустимым, если при этом преобразовании не происходит потери корней, то есть получается уравнение f ′ (x) = g ′( x) , которое либо имеет те же корни, либо имеет хотя бы один корень, посторонний для первоначального уравнения.

В связи с этим используются следующие понятия:

Уравнение f ′ (x) = g ′( x) является следствием уравнения f(x) и g(x) , если его каждый корень является корнем первоначального уравнения.
Уравнения, имеющие одни и те же корни называются равносильными (эквивалентными). При этом одно из них является следствием другого. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например:

1) Уравнения х - 5 = 1 и х² = 36 неравносильны, так как первое имеет только один корень х = 6, тогда как второе имеет два корня: х = 6,
     х′ = -6.
2) Уравнение х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень 3.
3) Равносильны и уравнения х²+1=0 и 2 х² +5=0, так как ни одно из них не имеет корней.


    Если уравнения равносильны, то пишут:

f(x) = g(x)↔ f ′ (x) = g ′( x),


а если одно уравнение является следствием другого. то пишут:

f(x) = g(x) → f ′(x) = g ′( x).

    Отметим, что если исходное уравнение с помощью допустимых преобразований заменено другим, причем в процессе преобразования хотя бы один раз уравнение заменялось на неравносильное ему следствие, то проверка найденных корней путём подстановки в исхолное уравнение является обязательной.
    Если же при каждом преобразовании уравнение заменялось на равносильное, то проверка не нужна.