Решение тригонометрических неравенств

Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, в которых переменная находится под знаком тригонометрической функции.

При решении неравенств с тригонометрическими функциями используется периодичность этих функций и их монотонность ва соответствующих интервалах. При этом полезно обращаться к графикам.


Поскольку решение тригонометрических неравенств в конечном итоге сводится к решению простейших, то рассмотрим вначале примеры решения простейших тригонометрических неравенств, т. е. неравенств вида f(x) > а (или f(x) < а , f(x) больше или равно а , f(х) меньше или равно а ), где f(x) — одна из тригонометрических функций.
Поскольку функции у = sinx , у = cosx имеют основной период T = 2π , то неравенства вида sinx > a (sinx < a, sinx больше или равно a, sinx меньше или равно a) и cosx > a (cosx < a, cosx больше или равно a, cosx меньше или равно а) достаточно решить сначала на каком-нибудь отрезке длины . Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2nπ , n принадлежит Ζ. Для решения неравенств вада tgx > a (tgx < a, tgx больше или равно a, tgx меньше или равно a) и ctgx > a (ctgx < a, ctgx больше или равно a, ctgx меньше или равно a) достаточно решить их вначале на интервале длины . Поскольку функции у = tgx и у = ctgx имеют период π, то прибавляя к найденным на соответствующих интервалах решениям числа вида , n принадлежит Ζ, получим все решения исходного неравенства.

Вид неравенстваМножество решений неравенства
sinx > a (|a|<1)x принадлежит (arcsin a + 2πn, π - arcsin a + 2πn), nпринадлежитΖ
sin x < a (|a|<1)x принадлежит (-π - arcsin a + 2πn, arcsin a + 2πn), nпринадлежитΖ
cos x > a (|a|<1)x принадлежит (-arccos a + 2πn, arccos a + 2πn), nпринадлежитΖ
cos x < a (|a|<1)x принадлежит (arccos a + 2πn, 2π - arccos a + 2πn), nпринадлежитΖ
tg x > ax принадлежит (arctg a + πn, π/2 + πn), nпринадлежитΖ
tg x < ax принадлежит (-π/2 + πn, arctg a + πn), nпринадлежитΖ
ctg x > ax принадлежит (πn, arcctg a + πn), nпринадлежитΖ
ctg x < ax принадлежит (arcctg a + πn, π + πn), nпринадлежитΖ

Решение более сложных тригонометрических неравенств

Пример 1. Решить неравенство sinx • cosx < 1/4.

Р е ш е н и е. Умножив обе части исходного неравенства на 2 и используя формулу sin2x = 2sinx • cosx, получаем:

sinx • cosx < 1/4 ↔ 2sinx • cosx < 2(1/4) ↔ sin2x < 1/2 ↔

Ответ: