Определения.


    Если точка М на числовой окружности соответствует числу t, то абциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cost, а ординату точки М - синусом числа t и обозначают sint.

sin t принадлежит отрезку (-1;1)
cos t принадлежит отрезку (-1;1).
cos2 t+sin2 t=1


Для любого значения t справедливы равенства:

sin(-t)=-sin t
cos(-t)=cos t
sin(t+2пk)=sin t
cos(t+2пk)=cost
sin(t+п)=-sin t
cos(t+п)=-cos t
sin(t+п/2)=cos t
cos(t+п/2)=- sin t

Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tg t.
Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctg t:

tg t = sin t/ cos t, где t не равно п/2+пk, k принадлежит множеству целых чисел.
сtg t =cos t/ sin t, где t не равно пk, k принадлежит множеству целых чисел.

Для любого допустимого значения t справедливо равенство :

tg(-t)=-tg t
ctg(-t)=ctg t
tg(t+п)=tg t
ctg(t+п)=ctg t
tg(t+пk)=tg t
ctg(t+пk)=ctg t
tg t*ctg t =1, при t не равном пk/2.
1+tg2t = 1/cos2t, при t не равном п/2+пk.
1+ctg2t = 1/sin2t, при t не равном пk.

Если \ a\ меньше или равен 1, то arccos ( арккосинус) - это такое число из отрезка ( 0 ; п ), косинус которого равен а.
Если \ a\ меньше или равен 1, то - это такое число из отрезка ( -п/2;п/2), синус которого равен а.
arctg( арктангенс) - это такое число из интервала ( -п/2;п/2), тангенс которого равен а.
arcctg(арккотангенс)- это такое число из интервала ( 0 ; п ), котангенс которого равен а.


    Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида

sin x=a, cos x=a, tg x =a, где а - действительное число.

Уравнения вида

a sin x+ b cos x =0,

называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени, Уравнения вида

a sin2 x+ b sin cos x + cos 2x=0

называют однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.




Методы решения.


Простейшие тригонометрические уравнения

1. а) cos t =a,

t =± arccos a + 2пk, k принадлежит множеству целых чисел.


В трех случаях предпочитают пользоваться не общей формулой, а более простыми соотношениями:
если cos t=0, то t=п/2+пk
если cos t=1, то t=2пk
если cos t=-1, то t=п +2Пk





2. sin t =-a

t=(-1)karcsin a+пk, k принадлежит множеству целых чисел.


В трех случаях предпочитают пользоваться не общей формулой, а более простыми соотношениями:
если sin t=0, то t=пk
если sin t=1, то t= п/2+ 2пk
если sin t=-1, то t=-п/2+ 2пk




3. tg t =a

t=arctg a + пk
arctg (-a)=-arctg a





4. ctg t=a

t=arcctg a + пk
arcctg (-a)= п-arcctg a



К простейшим обычно относят и уравнения вида Т ( kx+m)=а, где Т- знак какой-либо тригонометрической функции.



Однородные уравнения.

Первой степени.

1. Коэффициенты a и b не равны0, так как если a=0, уравнение принимает вид b cosx=0, т.е. соs x=0 - такое уравнение отдельного обсуждения не заслуживает, аналогично, при b = 0 получаем sin x= 0, что тоже не требует отдельного обсуждения.

Итак, дано уравнение a sin x+ b cos x=0, где а и b не равно 0.
Разделив обе части уравнения почленно на cos x ( при условии не равенства cos x 0), получим

а tg x +b =0

В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению

tg x - -b/a

Уравнения вида a sin m x+ b cos m x=0 тоже называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их решения обе части уравнения почленно делят на cos m x.



Второй степени.

Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени.

a sin2 x+ b sin cos x + cos 2x=0


1. Посмотреть, есть ли в уравнении член а sin 2x.
2.Если член а sin 2x в уравнении содержится, то уравнение решается делением обеих частей на cos2x и последующем введением новой переменной tg x =z.
3. Если член а sin 2x в уравнении не содержится, то уравнение решается методом разложения на мн6ожители: за скобки выносят cos х.
Так же обстоит дело и в однородных уравнениях вида a sin2m x+ b sin cosm x + cos 2mx=0.