Определение.


    Алгебраическое уравнение второй степени иначе называется квадратным.Наиболее общий вид квадратного уравнения с однимнеизвестным есть

ax² +bх+с=0

где a, b, c, - заданные числа или буквенные выражения, содержащие известные величины ( причем коэффициент а не может быть равен 0, иначе уравнение будет не квадратным, а уравнением первой степени).
     Квадратные уравнения, в которых а = 1 называют приведенными.
    Если а не равно 1, то квадратное уравнение является неприведенными..Разделив его обе части на а, мы получим уравнение x²+рх+g=0, ( p=b/a,    g=c/a) и таким образом перейдем к приведенному квадратному уравнению.
    Если одна из величин b,с или обе вместе равны 0, то квадратное уравнение называется неполным .
    Если и b и с не равны 0, то квадратное уравнение называется полным.

Например:
3 x²+8x -5=0 -полное неприведенное квадратное уравнение;
3 x²-5=0-неполное неприведенное квадратное уравнение;
x²-ах =0 - неполное приведенное квадратное уравнение;
x²-12х+7=0 - полное приведенное квадратное уравнение;



Методы решения

Полные квадратные уравнения

1) Корни уравнения ax²+bx +c=0 находят по формуле :

х = -b±√b²-4ас  /2а.

Выражение D=b²-4ас называют дискриминантом квадратного уравнения ax²+bx +c=0 . В связи с этим может предоставиться 3 случая:

D>0 ;      тогда два корня уравнения
действительны и различны между собой.

D=0;   тогда два корня уравнения
действительны и равны между собой
(оба равны -b/2а ).

D<0;    тогда уравнение не имеет
действительных корней.

Используя обозначение D=b²-4ас, можно переписать формулу х = -b±√b²-4ас  /2а в виде х=-b±√D  /2а.

2) Если b= 2k, то данная формула принимает вид:

х = -k±√k²-ас  /а, где k=b/2.

Эта формула удобна в тех случаях, когда b/2 - целое число, т.е. коэффициент b - чётное число.



Полные приведенные квадратные уравнения.

Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком,
а произведение корней равно свободному члену.

    Представим ещё некоторые соотношения между корнями и коэффициентами приведенноного квадратного уравнени x²+bx +c=0:

х1²+х2²=p²-2g
х1³+х2³=-p(p²- 3g)

Справедлива и теорема, обратная теореме Виета:
Если числа х1 и x2 таковы,
что х1 +x2=-р, х1 x2=g, то
х1 и x2 - корни уравнения x²+bx +c=0 .



Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.


Cуществует еще один способ решения полных квадратных уравнений- выделение квадрата двучлена.Он основан на использовании формул полного квадрата:

(х+у)² = х² +2ху+у²
(х-у)² = х² - 2ху+у²

Неполные квадратные уравнения.

аx²+bx =0,
x² +c=0.

    Неполные квадратные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней екадратного уравнения - проще решеать уравнение методом разложения его левой части на множители.

1)Если неполное квадратное уравнение имеет вид аx²+bx =0, то оно рeшается методом разложения на множители:


х(ах+b)=0.
х=0
х1=-b/a.


2) Если неполное квадратное уравнение имеет вид аx²=с,- самый простой тип квадратного уравнения и вместе с тем очень важный, так как к нему приводится решения всякого квадратного уравнения.Решение этого уравнения имеет вид :

х=√c/a.


Возможнытри случая:

а) если c/a = 0, то х =0.

б) если c/a - положительное число,
то его квадратный корень может
иметь два значения: одно
положительное, другое отрицательное.
Абсолютные значения этих величин одинаковы.
(x²=9, х=±3)

в) если c/a - отрицательное число,
то уравнение не может иметь никакого
положительного и никакого отрицательного
корня: ведь и положительное, и отрицательное число
при возведении в квадрат даёт
положительное число.