Какое место занимает функция в уравнениях и неравенствах.
• Изучая какой-нибудь реальный процесс, обычно обращают внимание на две или несколько величин, участвующих в одном процессе. Одни из них меняются как бы сами по себе, независимо ни от чего (такие переменные обычно обозначают буквой х), а другие величины принимают значения, которые зависят от выбранных значений х ( такую зависимую переменную часто обозначают у).Пример таких зависимостей ярче всего видны в физике. Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть координата х точки в момент времени t равна х(t). Предполагаем, что движение осуществляется непрерывно и плавно. Иными словами, речь идёт о движениях, наблюдаемых в реальной жизни. Для определённости будем считать, что речь идёт о движении автомобиля по прямолинейному участку шоссе. Таким образом, любое перемещение тела в пространстве, периодические изменения каких – либо величин, связанных между собой, можно представлять математической моделью реального процесса, принимающей следующий вид:
у = f(x)
И эту запись следует понимать так: имеется выражение f(x) с переменной х, с помощью которой находятся значения переменной у. Подобную зависимость именуют функциональной и выражают в виде функции.
• Исходя из этих соображений, любое уравнение в математике есть функция. Возьмём, к примеру, уравнение следующего вида:
2 + х=0
Данное выражение можно расшифровать так: при каком-то значении независимой переменной х, действующее значение у равно нулю. Действительно, если х = -2, то данное равенство выполняется:
2 - 2 = 0, 0 = 0
Итак, можно сделать вывод, что при х = -2, действующее значение функции равно нулю. • А как обстоит дело с неравенствами? Все очень просто. Например, мы имеем запись вида:
2+х >0
Данное выражение говорит о том, что при определённых значениях независимой
переменной х , функция у =2+х больше нуля. Действительно, решив данное
неравенство, что х > -2. Таим образом, если х = -1, то 2 - 1 = 1, 1 > 0,
если х = 100, то 100 + 2 = 102, а 102 > 0 , следовательно, если переменная
х будет принимать значения в пределах (– 2; + ? ) эта функция всегда будет
больше нуля, но -2 из данного интервала исключено потому, потому что
неравенство строгое.
• Итак, любая зависимость является функциональной и
выражается в виде функции. Уравнения и неравенства есть нечто иное, как
функции, значит, для их решения необходимо найти те значения независимых
переменных, при которых данная функция принимает определённое действующее
значение. Следовательно, при решении уравнений и неравенств можно пользоваться
свойствами функций и их графиками, что удобно во многих случаях.
Решение уравнений методом оценки множества значений принимаемых функцией.
Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала. Прежде чем приступить к его решению, стоит оценить левую и правую части. Иногда такой метод помогает сразу определить корни уравнение или установить отсутствие решения. Например:
-х2 +2х -1 -(х-1)2 =(x2 -3x +2)1/2
Левую часть уравнения представим как квадрат разности и получим
-(х-1)2 =(x2-3x+2)1/2
Рассмотрим полученное выражение как равенство двух функций у1 = -(х-1)2 и у2=(x2-3x + 2)1/2. Функция у2=(x2 - 3x + 2)1/2 степенная и принимает только положительные значения, т.к. её график расположен выше оси ох. Следовательно, необходимо наложить условие на у1 = -(х-1)2 : у12 ?0, тогда х принадлежит промежутку (-1; 1) . Так же необходимо наложить условие на у2=(x2 - 3x + 2)1/2 , т.к. подкоренное выражение стоящее под корнем чётной степени всегда больше нуля: x2-3x + 2 ?0 Функция у1 является убывающей, а у2 возрастающей , по этому они имеют только одну точку пересечения, следовательно уравнение имеет только один корень. Из этого следует, что графики совпадут, когда значение обоих функций рано нулю.
-(х-1)2 =
0
Решение полученной системы и будет корнем исходного
уравнения. Ответ:х=1.
Решение уравнений с помощью области определения и применение свойства монотонности функции.
Среди иррациональных уравнений и неравенств встречаются такие, которые не
решаются с помощью стандартных приёмов. В подобных случаях иногда может
оказаться полезным анализ области определения, а также использование таких их
свойств, как монотонность, периодичность, обратимость, дифференцируемость
чётность. В ряде случаев такой анализ позволяет найти решение иррационального
уравнения не производя утомительных выкладок. Итак, применим свойство
монотонности функции к решению уравнения.
• Например, необходимо решить
уравнение следующего вида:
В правой части этого уравнения стоит монотонно
возрастающая степенная функция, а в левой части монотонно убывающая линейная.
Воспользуемся теоремой о количестве корней. Если функция, стоящая в левой
части уравнения монотонно возрастает, а функция, стоящая в правой части,
убывает, то уравнение имеет только один корень. Следовательно, данное
уравнение имеет не более одного корня, значение которого легко подбирается: х
= 1.
• Решить уравнение.
(2x-1)1/3 + (x-1)1/3 = 1
Сразу можно заметить, что значение х = 1 является корнем данного уравнения,
левая часть которого представляет собой сумму двух возрастающих степенных
функций, следовательно, сама является возрастающей функцией, а правая прямая у
= 1. Здесь применима следующая теорема: если функция представляет собой сумму
2-ух возрастающих функций, то сама является возрастающей функцией и по этому
принимает каждое своё значение только один раз. Поэтому других корней данное
уравнение не имеет. Рассмотрим ещё несколько уравнений, решение которых
опирается на свойства монотонности и нечётности.
• Дано уравнение
следующего вида:
(2х+1)(7+(2x+1)2)1/2 + х(x2)1/2 + 7 = 0 f(y) = y
Введём и рассмотрим функцию
f(y) = y(y2 + 7)1/2
Тогда исходное уравнение можно представить в виде
f(2х+1) + f(х) = 0
Функция f(y) является нечётной, поэтому можно переписать это уравнение
F(2х+1)= -f(х) = f(-х)
Стоит заметить, что функция f(y) монотонно возрастает на всей области
определения (это определяет положительный результат производной данной
функции). Теперь необходимо воспользоваться следующей теоремой:
если
f(y)- монотонная функция, определённая на всей числовой прямой, то уравнения f
(х) = f(y) и х = у равносильны.
Следовательно, из предыдущего
уравнения следует 2х + 1 = -х откуда находим корень исходного уравнения, х =
-1/3
• Решить уравнение:
(1 + (x) Перенесём единицу в левую часть и получим: 1 + (1 + (x) f(x) = 1 + (x)1/2
С её помощью полученное уравнение можно переписать в следующем виде:
f(f(x)) = x • Теперь рассмотрим уравнения, решить, которые можно задействовав область
определения функции и множество значений. (5 - x)1/2 -(7 - x)1/2 + (2x -
25)1/2 =2
Обсудим условия, при которых выражения, входящие в левую часть данного
уравнения, имеют смысл.
5 - х ? 0
7 - х ? 0
2х - 15 ? 0
Эта система содержит противоречивые неравенства, следовательно, решений не
имеет. Поэтому и исходное уравнение решений тоже не имеет. Ответ:
• Решить уравнение:
(x3+3x2-16 + 21/2 -
1)1/2 = -1 - 2x2
Проверим неотрицательность множества значений правой части
-1 - 2х2 ? 0
Это неравенство не имеет решения. Тогда исходное уравнение не имеет
решений, так как левая часть его неотрицательная функция.
• Решить уравнение
(x2 + 4)1/2 + (x2 +
1)1/2 = 3 - 5x2
Оба радикала, стоящие в левой части уравнения, существуют при любых
значениях переменной х, а правая часть неотрицательна при х [
(-3/5)1/2; (3/5)1/2].Можно заметить ,что (x2
+ 4)1/2 + (x2 + 1)1/2 ? 41/2 +
11/2 = 3, в то время как 3 - 5x2 ? 3. Следовательно,
левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе
части одновременно равняются 3 .Отсюда находим единственное решение исходного
уравнения подбором х = 0.
• Рассмотрим неравенство следующего вида:
(1/x2 + x)1/2 +(x -
1/x2)1/2 > 2х
ОДЗ х ? 1.Возведём обе части неравенства в квадрат :
1/x2 + x - 1/x2 + x + 2((1/x2
+ x)(x - 1/x2))1/2 > 4х
Преобразуем полученное выражение к виду :
((1/x2 + x)(x - 1/x2))1/2
> 2х2 - х
Применим метод оценок. Очевидно, что (x2 -
1/x4)1/2 < х при х>0, а 2х2 - х > х
при х ? 0. Таким образом, исходное неравенство не имеет решений, так как на
всей области допустимых значений выполнено неравенство (x2 -
1/x4)1/2 < 2х2 - х.
Применение функционально-графического
метода.
Этот метод решения применяется тогда, когда в левой и правой части
уравнения стоят разноимённые функции. Корнями таких уравнений являются
абсциссы точек пересечения графиков функций.
• Например:
2х - 1 = x1/2
Построим графики функций у = 2х - 1 и у = x1/2. Ветви
этих графиков пересекаются в точке А (1;1) и В(0;0) Следовательно х
1=1, х2 = 0 - корни данного уравнения.
• Рассмотрим неравенства состоящие из разноимённых функций.
5х < 6 - х
Смыл данного выражения заключается в том, что кривая графика у
=5х должна быть расположена ниже графика функции у = 6 - х. Сделав
соответствующие построения наглядно можно определить интервал, подходящий под
решение данного неравенства. Для нашего случая график первой функции лежат
ниже второй на интервале х (-?; 1), что и является решением. • В подобных примерах знак неравенства определяет расположение ветвей
графиков функций друг относительно друга. • Стоит отметить, что функционально-графический метод крайне неудобен
тогда, когда графики исходных функций носят относительный характер, трудно
определить точное значение точки пересечения. Например:
(x2 + 1)/(x - 4) - (x2-1)/(x + 3) = 23
Приведём уравнение к виду:
7х2 + 2х - 1 = 23х2 - 23х - 276
Введём следующие функции:
y1 =7х2 + 2х - 1 и у2 =
23х2 -23х -276
Обе функции квадратичные, их графиками является параболы, их ветви
направлены вверх. Рассмотрим y1 = 7х2 + 2х -1.
Координаты вершины этой функции ( -1/7; -8/7 ) , а точки пересечения с осью
абсцисс (0,26 ;0) и (-0,5 ;0). Вершина второй функции у2=
23х2 - 23х - 276 имеет следующие координаты (0,5;-12,25), точки
пересечения с осью ох (3;-2)
ГРАФИК ФУНКЦИИ
После построения графиков этих функций выяснилось, что точки их пересечения
найти крайне сложно. Это подтвердило, что функционально – графический метод не
всегда рационален.
Применение свойства периодичности.
При решении ,например, тригонометрических уравнений стоит обратить внимание
на период функций стоящих в нём. Точное значение периода помогает избавиться
от лишних корней.
• Например:
sin(x/100) + cos(x/100) =1, Т=200
Возведём обе части в квадрат и получим:
Sin(x/50) =0 K=0, х=0
Sin0 + cos0 = 1
K=0, х не равен 100п
Sin п + cos п не равно 1
К=1, х=50п
cos(п/50) + Sin(п/50) = 1
к = 4, х =200п
cos2пп + sin2 = 1 Решение уравнений с помощью свойства
обратимости.
Для характеристики функций совершенно не существенно, какой буквой
обозначается сама функция и её аргумент; так, если мы имеем y = x2
и u = v2, то у есть такая же функция от х, как u от v ; иначе
говоря, х и у – это одна и та же функция, хотя её аргумент её обозначен
неодинаково. • Решить уравнение следующего вида:
log12(x1/2 + x1/4) = 1/2
log9х
Выразим х через у:
у= 1/2 log9х, следовательно 2у = log9х,
значит х = 92у
Получаем, что:
log12(9у + 3у) = у
Потенцируем данное уравнение и разделим полученное выражение на
12у:
9у + 3у = 12у;
(3/4)y + (1/4)y = 1
Таким образом, получили легко решаемое степенное уравнение. У = 1, т.к по
теореме данное уравнение имеет не более одного корня. Х = 92*1
х = 81 • Теперь стоит рассмотреть принцип решения подобным способом
неравенств.
log5(1+x1/2) > log16х
Выразим значение х через у.
У=log16х, следовательно х = 16у
log5(1 + 4у) > у
Потенцируем и разделим полученное выражение на 5у :
1 + 4у > 5у
(1/5)yy> 1 log16х < 1
Полученное неравенство имеет простое решение. Решение уравнений с помощью производной.
Мы говорим о производной тогда, когда для данной функции на промежутке D
есть множество точек ,в которых данная функция дифференцируема, т.е. имеет
производную. Сопоставляя каждому х,принадлежащих D число f'(x), получим новую
функцию с областью определения D.Эта функция и будет производной исходной
функции. Так же следует отметить, что производная применяется для нахождения
точек экстремумов. Что бы решить уравнение с помощью производной необходимо
ввести функцию, наитии её производную и определить точки экстремумов. Из-за
одного экстремума график будет пересекать ось ох. Следовательно, на одну точку
максимума или минимума будет приходится два коря уравнения.
• Дано уравнение следующего вида:
3x+2= 26х + 29
Перенесём правую часть уравнения в левую и введём функцию.
у = 3x+2 - 26х - 29
Найдём производную полученной функции:
y'=3(х+2)ln3 - 26
Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
3(х+2)ln3 - 26 = 0
3(х+2) =26/ln3
(х+2)log33 =log326/ln3
х =log326/ln3 - 2
Отметим значение х на числовой прямой:
Данная функция имеет одну точку минимума, следовательно, будет пересекать
ось ох в двух точках, значит, уравнение имеет не более двух корней. Решение уравнений методом
ограниченности.
Область значений функции играет роль ограничивающего фактора при решении
уравнений и неравенств. Она показывает какие значения может принимать функция
и следовательно демонстрирует какие значения при этом принимает искомая
переменная.
• Рассмотрим уравнение следующего вида:
log2x2 + logx4 = 3 -
cos(пx/2)
ОДЗ :x > 0 2log2x + (2/log2x) = 3 - cos(пx/2)
2(log2x + 1/log2x) = 3 - cos(пx/2)
2(log2x + 1/log2x) = 4
Заключение. В вопросах ЕГЭ более 50%
всех заданий решаются с применением знаний свойств функций и их графиков. Я
считаю, что моя работа позволит выпускникам увидеть применение свойств функций
в нестандартных решениях уравнений и неравенств. Итак, в проекте были
предложены и рассмотрены такие свойства и методы как: Метод оценки - даёт
возможность быстро решить уравнение или неравенство без лишних объёмных
вычислений, что в первую очередь экономит время абитуриента на экзамене.
Применение области определения и монотонности помогает так же быстро найти
решение, почти сразу определить количество корней, сделать решение более
рациональным. Свойство периодичности функций даёт возможность избавиться от
лишних корней. Графический метод незаменим при решении уравнений. Свойство
ограниченности, необходимости и достаточности указывают на необходимые и
достаточные условия в решении для нахождения корней. Применение производной
упрощает решение и определяет точное количество корней и решений.
Функционально-графический метод помогает более быстро и точно найти решение,
широко распространён во многих тестовых и экзаменационных заданиях. По этому
абитуриенту стоит овладеть навыками данного метода, чтобы находить более
рациональные и эффективные решения.
Задачи для самостоятельного решения.
cosx-1 =x2 Ответ: х = 0, применение функционально-графического
метода.
sin(п /2 ) =x1/2 Ответ: х = 1, применение
функционально-графического метода.
2x -1 = x1/2 Ответ: х1=0, х2=1, применение
функционально-графического метода.
3x -1 = -x1/2 Ответ: х=0, применение
функционально-графического метода.
(1/4)x = x1/2 + 1 Ответ: х=0, применение
функционально-графического метода.
2x = 2/x Ответ: х =1, применение функционально-графического
метода.
5x= 5/x Ответ: х =1, применение функционально-графического
метода.
(1/4)x = -(4/x) Ответ: х =1, применение
функционально-графического метода.
(1/8)x = -(8/x) Ответ: х =-1, применение
функционально-графического метода.
-х2 + 2х-1 = (x2 -3x +2)1/2 Ответ:
(x3 -2x +51/2)1/2 =2x -5 -x2 Ответ:
(1/3)x = x1/2 +1 Ответ:х = 0, применение
функционально-графического метода.
2x = 2/x Ответ: х = 1, применение функционально-графического
метода.
7х2 +11х +5 >0 Ответ: множество решений
х2 -4х +5 <0 Ответ: множество решений
х2 -121 <0 Ответ: х принадлежит (-11; 11)
х2 -3х +2 >0 Ответ: х принадлежит (-?; 1) и (2;+?)
х2 -2х -1 >0 Ответ: (-?; 1 -21/2 ) и
(1+21/2;+?)
3х2 +10х +9 >0 Ответ: множество значений
2х2 +4х +3 <0 Ответ: множество значений
х2 -144 ? 0 Ответ: х принадлежит (-?;-12]и [12;+?)
х2 -5х +4 < 0 Ответ: (-?; 1) и (4 ;+? )
х2 -3х -2 < 0 Ответ: ( (3 -(7)1/2)/2; (3
+(7)1/2)/2
2х + 1 ? cosх Ответ: множество решений
(1/4)x = (x)1/2 +1 Ответ: х = 0, применение
функционально-графического метода.
2х -1 = x1/2 Ответ: х1 = 0; х2
= 1, применение функционально-графического метода.
3x -1 = -(x)1/2 Ответ: х = 0, применение
функционально-графического метода.
3x ? 4 - х Ответ: х принадлежит [1;+?), применение
функционально-графического метода.
5x < 6-х Ответ: х принадлежит (-?; 1), применение
функционально-графического метода.
(1/7)x > х + 8 Ответ: х принадлежит (-?; -1), применение
функционально-графического метода.
(1/2)x ? х + 3 Ответ: х принадлежит [1;+?) , применение
функционально-графического метода.
sin100x +cos100x = 1, T = п/50 cos4x\sin2x =sin4x\cos2x, T =п cos(x/4)\sin(x/6) , T = 24п
tg3x*tg4x = 0, T = sin200x + cos200x = 1, T = п/100 cos10x\sin5x = sin10x\cos5x, T = 2п/5 Список используемой литературы.
А.Г.Мордкович уч. Алгебра и начала анализа 10-11
М.Я.Выгодский Справочник по математике
А.Н.Колмогоров уч. Алгебра и начала анализа 10-11
О.Ю.Черкасов, А.Г.Якушев Справочник для старшеклассников и поступающих в
вузы.
М.И.Сканкви Сборник задач по математике
Для решения таких уравнений
применима одна известная теорема.
Если f(х)- монотонно возрастающая
функция, то f(x) = x и f(f(x)) = x равносильны.
Введённая функция
f(x) = 1 + (x)
Например:
Замечание.
< означает, что часть
графика правостоящей функции расположены выше графика левостоящей
функции.
> означает, что часть графика правостоящей функции
расположены ниже графика левостоящей.
х=50пk, k принадлежит
множеству целых чисел.
Проверим корни в пределах периода:
Ответ: х = 50пk, k= 4n,
принадлежит множеству целых чисел.
Если в данной функциональной зависимости аргумент и функцию
поменять ролями, мы получаем новую функцию, называемую
обратимой. Например, рассмотрим показательную и логарифмическую
функции. Показательная функция- это функция вида у = ах. Переменная
х стоит в показатели степени и принимает любые значения. Логарифмической
функцией называют функцию вида: у= logaх. Переменная х принимает
только положительные значения и неравна 0. Стоит вспомнить определение
логарифма. Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от
нуля основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число
а, чтобы получить число b. Итак, выразим х из показательной функции х : х =
logау. Сравним полученное выражение с логарифмической функцией:
х=logау и у= logaх. Прекрасно видно, что аргумент и само
функция легко поменялись местами. Следовательно, логарифмическая функция
обратна показательной.
Теорема.
Если левая часть уравнения представляет собой сумму двух возрастающих
функций и, следовательно, сама является возрастающей, принимает каждое своё
значение ровно один раз.
Теперь зная значение у, найдём значение
переменной х.
Ответ: х=81.
Получаем:
Таким
образом, получили, что у < 1
Подставим значение у вместо
log5(1 + x1/2) и получим:
X < 16
Х >
0
Ответ: х (0;16)
Методом
подбора определили, что х1 = 2, а х2 = -1.
Ответ:
х1 = 2, х2= -1.
2 ? х ? 4
Преобразуем данное уравнение:
Ответ: х= пk/200, k принадлежит 4n, n
принадлежит множеству целых чисел, применение свойства периодичности функции.
Ответ: х1=п/12 +пk,k
принадлежит Z;х2 = 5п/12 +пk, k принадлежит Z; х3 =
7п/12 +пk, k принадлежит z; х4 = 11п/12 +пk,k принадлежит Z;
х5 = п/12 +(п/6)k, k не равно 1+3t, t принадлежит Z, применение
свойства периодичности функции.
Ответ: х =2 +4 n, n
Z, применение свойства периодичности функции.
Ответ: 2х + 1 ≥
cosx
Ответ: х принадлежит множеству чисел, функционально-графический метод.