|
 |
|
Упругие одномерные соударения двух тел
Упругими соударениями тел называются соударения, при которых сохраняется кинетическая энергия.
Соударения, при которых не сохраняется кинетическая энергия, называются неупругими.
В случае упругого соударения двух тел массами m1 и m2, скорости которых направлены по одной прямой и равны до соударения v1н и v2н, а после соударения – v1к и v2к, можно записать два закона сохранения:
m1v1н + m2v2н =
m1v1к + m2v2к (сохранение импульса),
[ m1(v1н)2 / 2 ] +
[ m2(v2н)2 / 2 ] =
[ m1(v1к)2 / 2 ] +
[ m2(v2к)2 / 2 ] (сохранение энергии).
Это система двух уравнений относительно v1к и v2к. Записывая уравнения в виде:
m1 (v1н - v1к) = - m2 (v2н - v2к)
m1 [ (v1н)2 - (v1к)2 ] = -
m2 [ (v2н)2 - (v2к)2 ]
и деля нижнее на верхнее, получаем
v1н + v1к = v2н + v2к
или
v1н – v2н = – (v1к – v2к).
Это означает, что относительные скорости тел до соударения и после соударения равны по величине и
противоположны по знаку.
Если две частицы одинаковой массы сталкиваются, имея равные по величине и противоположно
направленные скорости, то после соударения они разлетаются с равными по величине скоростями. Если одна частица догоняет другую частицу той же массы, после соударения обе частицы продолжают двигаться в ту же сторону.
Важный на практике случай: покоящаяся мишень (v2н = 0). В этом случае v2к = v1н – v1к. Подставляя это соотношение в уравнение закона сохранения импульса, можно найти выражения для конечных скоростей обеих частиц:
v1к = v1н [ (m1 - m2) \ (m1 + m2) ]
v2к = v1н [ 2m1 \ (m1 + m2) ]
1. Пусть v2н = 0 , m1 = m2 = m. Тогда
v1к = 0, v2к = v1н.
Это означает, что налетающая на неподвижную мишень частица той же массы останавливается, а вся ее скорость передается второй частице.
2. Пусть m1 > m2 и v2н = 0. Тогда
v1к » v1н ,
v2к » 2v1н.
Иными словами, если тяжелая ракетка бьет по легкому мячу, то скорость ракетки не меняется после
удара, а мяч приобретает скорость, в два раза большую, чем скорость ракетки.
3. Пусть m2 > m1 и v2н = 0. Тогда
v1к» – v1н ,
v2к » 0.
В этом случае налетающий легкий мяч отражается с той же скоростью в противоположном направлении, а тяжелая “стенка” остается неподвижной.
Из графика этого отношения как функции отношения масс видно, что максимальная передаваемая энергия получается при равенстве масс m1 и m2.
При ударе о стенку под некоторым углом налетающее тело передает стенке долю своего импульса.
|
|
Представляет интерес вычисление доли энергии первого тела, которая передается одному из тел после удара. Например, кинетическая энергия второго тела, первоначально покоившегося, после удара станет
равной
Eк2 = [ m2(v2к)2 ] \ 2 =
(m2 \ 2) * [ (4(m1)2) * (v1н)2 \
(m1 + m2)2 ] =
[ 4m1m2 \ (m1 + m2)2 ] * Eк1
Отсюда:
Eк2 \ Eк1 = 4m1m2 \
(m1 + m2)2 = 4 (m2 \ m1) \
[ 1 + (m2 \ m1) ]2
Из графика этого отношения как функции отношения масс видно, что максимальная передаваемая энергия получается при равенстве масс m1 и m2.
|
|
Реактивное движение
Закон сохранения импульса позволяет объяснить и получить основные уравнения, описывающие
реактивное движение. Главной особенностью движения ракеты является то, что это движение тела с переменной массой. Выбрасывая ежесекундно определенную часть массы в виде газов сгоревшего топлива, ракета разгоняется. Чтобы учесть переменность массы ракеты, следует воспользоваться уравнением Ньютона в форме:
Dp /
Dt = 0.
Здесь
Dp = p2 – p1
– разность конечного и начального импульсов системы, состоящей из ракеты и испущенных за
время
Dt газов.
Предполагается для простоты, что на ракету не действуют внешние силы (конечно, это не так,
тяготение Земли очень важно, но в этом случае уравнения сильно усложняются). Введем обозначения:
m – масса ракеты вместе с топливом,
vр – скорость ракеты относительно Земли,
vг – скорость газов относительно Земли,
vгр – скорость газов относительно ракеты,
Dmг
– масса газа, вытекшего из сопла ракеты за время
Dt
и равная уменьшению полной массы ракеты за это же время.
Начальный импульс ракеты вместе с топливом относительно Земли в произвольный момент времени равен p1 = mvр.
|
|
Через время
Dt
масса ракеты становится равной
m – Dmг,
скорость ракеты относительно Земли получает приращение и становится равной
vр + Dvр.
Таким образом, суммарный импульс ракеты и выброшенных газов относительно Земли равен
p2 = (m – Dmг) *
(vр + Dvр) +
Dmгvг.
Принято выражать скорость газов относительно Земли через их скорость относительно ракеты (скорость истечения) vгр с помощью закона сложения скоростей:
vг = vгр + vр.
Это векторное равенство, и так как в большинстве случаев скорость истечения газов противоположна
скорости ракеты, то |vг| < |vгр|.
Подставляя это равенство в выражение для импульса системы, получаем
p2 = (m – Dmг) *
(vр + Dvр) +
Dmг(vгр + vр).
Составляем теперь отношение:
Dp /
Dt =
(mDvр –
Dmг
Dvр +
Dmгvгр) /
Dt.
В числителе можно пренебречь вторым слагаемым, так как оно содержит произведение двух малых
величин. В результате, учитывая, что изменение массы ракеты
Dm =
– Dmг
[ Dm = m2 – m1 =
(m – Dmг) – m =
– Dmг ]
и переходя к пределу бесконечно малых приращений, получаем дифференциальное уравнение:
mdvр / dt – vгрdm / dt = 0.
Это уравнение можно переписать в виде:
dvр = vгрdm / m.
Оно носит имя нашего великого соотечественникаК. Э. Циолковского. Интегрируя обе части уравнения в предположении постоянства скорости истечения газов vгр, находим закон возрастания скорости ракеты:
(vр)2 – (vр)1 =
vгрln(m2 / m1).
Наверх
|
ВВЕДЕНИЕ |
Теория |
Задания |
Приложения |
Ученые
|
|