ВВЕДЕНИЕ Теория Задания Приложения Ученые


    Волны в упругой среде

Продольные и поперечные волны



Волна – это процесс распространения колебаний в среде. Причина возникновения волн в упругой среде – взаимодействие соседних частиц среды, в результате которого колебания частиц, возбужденные в каком-то месте, передаются соседним частицам, заставляя их колебаться, затем следующим частицам и т.д. Важно подчеркнуть, что при распространении волны не происходит переноса вещества среды. Однако волна несет энергию и импульс, передавая их от одной точки среды к другой за счет сил взаимодействия. В идеальном случае (когда можно пренебречь силами трения) эта передача энергии и импульса происходит без затухания; в реальной волне по мере распространения происходит диссипация энергии, и сама волна затухает.



Типы волн

Волны, в которых колебания частиц среды происходят перпендикулярно направлению распространения волны, называются поперечными. Пример: волна, возбуждаемая в струне музыкального инструмента.

Волны, в которых колебания происходят в направлении распространения волны, называются продольными. Пример: звуковые волны в упругой среде.

Некоторые волны имеют как продольные, так и поперечные компоненты. Так, в волне на поверхности воды частицы воды совершают движения по эллипсам, так что смещения частиц имеют продольную и поперечную составляющие по отношению к направлению скорости распространения.



Математическое описание волн

Пусть возбуждение среды в начальный момент времени описывается функцией y = f(x), имеющей вид ограниченного в пространстве импульса (для простоты рассматриваем одномерный случай). В среде без затухания этот импульс распространяется без изменения формы направо со скоростью v, зависящей от упругих свойств среды. Поэтому в любой последующий момент времени исходная форма импульса как бы переносится на расстояние vt и описывается функцией

y( x, t ) = f(x – vt).

Возможно и распространение волны налево, тогда

y( x, t ) = f(x + vt).

В общем случае произвольная волна есть суперпозиция волн, бегущих направо и налево:

y( x, t ) = f1(x – vt) + f2(x + vt).

Волновая функция y(x,t) может иметь разный физический смысл. Так, это может быть смещение точек струны в поперечном направлении, изменение давления в воздухе как функция координат и времени и т.п.



Монохроматические волны

Пусть в момент t = 0

y(x) = A sin (2px / l).

Величина А называется амплитудой волны (физический смысл – максимальное смещение от положения равновесия), l – длиной волны (расстояние между двумя последовательными горбами или впадинами).

Монохроматическая волна имеет вид:

y(x) = A sin [ (2p \ l) * (x - nt) ]

Из графика видно, что в такой волне все горбы или впадины за время Dt равномерно смещаются на величину Dt. C другой стороны, в каждой точке пространства, например, x = 0, зависимость y(t) имеет вид гармонического колебания с определенной частотой и периодом (см. Колебания тела на пружине. Математический маятник):

y ( 0; t ) = A sin [ - (2p \ l)nt ] = - A sin [ (2 p n \ l)t ] = - A sin (2 p \ T )

Таким образом, период волны

T = l / v.

Принято вводить круговую частоту волны w = 2 p / T и волновое число k = 2 p / l. Тогда волновая функция, описывающая монохроматическую волну, запишется в виде:

y(x, t) = Asin ( kx – wt + j0 ).

Полезные соотношения:

v = ln = l / T, v = w / k.

Аргумент синуса в монохроматической волне, т.е. функцию j = kx –  wt +  j0, называют фазой волны. Нетрудно видеть, что в трехмерном пространстве поверхность одинаковых значений фазы представляет собой плоскость, которая перемещается вдоль оси x со скоростью v. Поэтому такую волну называют плоской волной.



Звуковые волны



Продольные волны разрежения и сжатия в воздухе, жидкой или твердой среде называются звуковыми волнами. Раздел физики, изучающий свойства звуковых волн, называется акустикой.

Частота звуковой волны может меняться от инфразвуковой области (частоты порядка 10 Гц) до ультразвуковой области (частоты свыше 105 Гц). Человеческое ухо воспринимает звуки в диапазоне частот от 20 до 20 000 Гц. Чем больше частота волны, тем выше звук. Интенсивность звуковой волны (физиологически воспринимаемая ухом как громкость) пропорциональна квадрату амплитуды этой волны.



Биения

Если в какую-то точку среды приходят две звуковые волны от двух разных источников, то смещения точек среды складываются в соответствии с принципом суперпозиции. В результате возникает интерференция (наложение) звуковых волн. Интерференция может быть конструктивной (амплитуда суммарной звуковой волны увеличивается) и деструктивной (амплитуда суммарной звуковой волны уменьшается вплоть до исчезновения). Свойства интерференции звуковых волн необходимо учитывать при разработке акустики больших помещений, например, концертных залов. При неправильной конструкции в зале могут оказаться зоны плохой слышимости, в которых происходит деструктивная интерференция звуковых волн от источника звука и отраженных от стен помещения.

Если две звуковые монохроматические волны имеют слегка отличающиеся частоты, то в результате их интерференции амплитуда суммарной волны будет колебаться между максимумом и минимумом и возникнет явление, называемое биениями. Частота биений определяется как обратная величина интервала времени между двумя последовательными максимумами интенсивности суммарной волны.

Пусть складываются две монохроматические волны

y1 = A sin ( w1t ) и y2 = A sin ( w2t )

с одинаковой амплитудой и немного различающимися частотами. Для удобства вводятся обозначения:

w = ( w1 + w2) / 2 (средняя частота)

и

D w = w1w2 (расстройка частоты).

Тогда

y = y1 + y2 = A [sin(w1t) + sin(w2t)] = A {sin [(wD w / 2) t ] + sin [ (w + D w / 2) t ] } = 2 A cos(Dw*t / 2) sinwt.

Полученный результат можно интерпретировать как монохроматическую волну с частотой w и медленно меняющейся амплитудой 2Acos(D wt / 2). Частота биений определяется интервалом времени между двумя последовательными максимумами интенсивности звуковых колебаний. Эта интенсивность пропорциональна cos2(D wt / 2). Так как квадрат косинуса меняется от 1 до 0 и обратно, что соответствует изменению аргумента от 0 до p, то период биений определяется из равенства:

D w Dt / 2 = p,

откуда

Dt = 2p / D w

и частота биений

n = 1 / Dt = D w/ 2p = n2 – n1.



Эффект Доплера



Если источник или приемник звука движутся относительно друг друга со скоростью v, то принимаемая частота звука n отличается от частоты n0 звука, испускаемого неподвижным источником. Этот эффект, называемый эффектом Доплера, возникает из-за того, что меняется число максимумов звуковой волны, достигающих за одну секунду нашего уха или измерительного прибора. Пусть Т0 = 1 / n0 – период колебаний неподвижного источника звука и, следовательно, период звуковой волны. Это означает, что каждые Т0 секунд максимум звуковой волны покидает источник. Если источник неподвижен, то за время Т0 максимум волны проходит расстояние l0 = vT0, равное длине волны испускаемого звука (v – скорость звуковой волны).

Но если источник движется со скоростью vист вдоль оси x, то расстояние между двумя максимумами, приходящими к приемнику, становится равным

l = vT0 – vистT0.

Это расстояние воспринимается приемником как длина звуковой волны l = vT.

Отсюда

T = T0 (1 – vист / v)

или

n = n0 / (1 – vист / v).

Как следует из этой формулы, если источник приближается, то частота звука возрастает, если источник удаляется (меняется знак скорости), то частота звука уменьшается. Очевидно, что аналогичная формула будет верна, если источник неподвижен, а приемник звука движется со скоростью vприем.

В этом случае

l = vT0 = vT – vприемT,

n = n0 (1 – vприем / v).

Если приемник приближается (скорость приемника отрицательна), то частота возрастает, если приемник удаляется, то частота звука уменьшается.

Наверх

ВВЕДЕНИЕ | Теория | Задания | Приложения | Ученые