ВВЕДЕНИЕ Теория Задания Приложения Ученые


    Упругие соударения. Реактивное движение

Упругие одномерные соударения двух тел



Упругими соударениями тел называются соударения, при которых сохраняется кинетическая энергия. Соударения, при которых не сохраняется кинетическая энергия, называются неупругими.

В случае упругого соударения двух тел массами m1 и m2, скорости которых направлены по одной прямой и равны до соударения v и v, а после соударения – v и v, можно записать два закона сохранения:

m1v + m2v = m1v + m2v (сохранение импульса),

[ m1(v)2 / 2 ] + [ m2(v)2 / 2 ] = [ m1(v)2 / 2 ] + [ m2(v)2 / 2 ] (сохранение энергии).

Это система двух уравнений относительно v и v. Записывая уравнения в виде:

m1 (v - v) = - m2 (v - v)

m1 [ (v)2 - (v)2 ] = - m2 [ (v)2 - (v)2 ]

и деля нижнее на верхнее, получаем

v + v = v + v

или

v – v = – (v – v)
.

Это означает, что относительные скорости тел до соударения и после соударения равны по величине и противоположны по знаку.

Если две частицы одинаковой массы сталкиваются, имея равные по величине и противоположно направленные скорости, то после соударения они разлетаются с равными по величине скоростями. Если одна частица догоняет другую частицу той же массы, после соударения обе частицы продолжают двигаться в ту же сторону.

Важный на практике случай: покоящаяся мишень (v = 0). В этом случае v = v – v. Подставляя это соотношение в уравнение закона сохранения импульса, можно найти выражения для конечных скоростей обеих частиц:

v = v [ (m1 - m2) \ (m1 + m2) ]

v = v [ 2m1 \ (m1 + m2) ]


1. Пусть v = 0 , m1 = m2 = m. Тогда

v = 0, v = v.

Это означает, что налетающая на неподвижную мишень частица той же массы останавливается, а вся ее скорость передается второй частице.

2. Пусть m1 > m2 и v = 0. Тогда

v » v , v » 2v.

Иными словами, если тяжелая ракетка бьет по легкому мячу, то скорость ракетки не меняется после удара, а мяч приобретает скорость, в два раза большую, чем скорость ракетки.

3. Пусть m2 > m1 и v = 0. Тогда

v» – v , v » 0.

В этом случае налетающий легкий мяч отражается с той же скоростью в противоположном направлении, а тяжелая “стенка” остается неподвижной.

Из графика этого отношения как функции отношения масс видно, что максимальная передаваемая энергия получается при равенстве масс m1 и m2.

При ударе о стенку под некоторым углом налетающее тело передает стенке долю своего импульса.



Представляет интерес вычисление доли энергии первого тела, которая передается одному из тел после удара. Например, кинетическая энергия второго тела, первоначально покоившегося, после удара станет равной

Eк2 = [ m2(v)2 ] \ 2 = (m2 \ 2) * [ (4(m1)2) * (v)2 \ (m1 + m2)2 ] = [ 4m1m2 \ (m1 + m2)2 ] * Eк1

Отсюда:

Eк2 \ Eк1 = 4m1m2 \ (m1 + m2)2 = 4 (m2 \ m1) \ [ 1 + (m2 \ m1) ]2

Из графика этого отношения как функции отношения масс видно, что максимальная передаваемая энергия получается при равенстве масс m1 и m2.



Реактивное движение

Закон сохранения импульса позволяет объяснить и получить основные уравнения, описывающие реактивное движение. Главной особенностью движения ракеты является то, что это движение тела с переменной массой. Выбрасывая ежесекундно определенную часть массы в виде газов сгоревшего топлива, ракета разгоняется. Чтобы учесть переменность массы ракеты, следует воспользоваться уравнением Ньютона в форме: Dp / Dt = 0. Здесь Dp = p2 – p1 – разность конечного и начального импульсов системы, состоящей из ракеты и испущенных за время Dt газов. Предполагается для простоты, что на ракету не действуют внешние силы (конечно, это не так, тяготение Земли очень важно, но в этом случае уравнения сильно усложняются). Введем обозначения:

m – масса ракеты вместе с топливом,

vр
– скорость ракеты относительно Земли,

vг
– скорость газов относительно Земли,

vгр
– скорость газов относительно ракеты,

Dmг
– масса газа, вытекшего из сопла ракеты за время Dt и равная уменьшению полной массы ракеты за это же время.

Начальный импульс ракеты вместе с топливом относительно Земли в произвольный момент времени равен p1 = mvр.

Через время Dt масса ракеты становится равной m – Dmг, скорость ракеты относительно Земли получает приращение и становится равной vр + Dvр. Таким образом, суммарный импульс ракеты и выброшенных газов относительно Земли равен p2 = (m – Dmг) * (vр + Dvр) +  Dmгvг. Принято выражать скорость газов относительно Земли через их скорость относительно ракеты (скорость истечения) vгр с помощью закона сложения скоростей: vг = vгр + vр. Это векторное равенство, и так как в большинстве случаев скорость истечения газов противоположна скорости ракеты, то |vг| < |vгр|. Подставляя это равенство в выражение для импульса системы, получаем

p2 = (m – Dmг) * (vр + Dvр) + Dmг(vгр + vр).

Составляем теперь отношение:

Dp / Dt = (mDvрDmг Dvр + Dmгvгр) / Dt.

В числителе можно пренебречь вторым слагаемым, так как оно содержит произведение двух малых величин. В результате, учитывая, что изменение массы ракеты

Dm = – Dmг

[ Dm = m2 – m1 = (m – Dmг) – m = – Dmг ]

и переходя к пределу бесконечно малых приращений, получаем дифференциальное уравнение:

mdvр / dt – vгрdm / dt = 0.

Это уравнение можно переписать в виде:

dvр = vгрdm / m.

Оно носит имя нашего великого соотечественникаК. Э. Циолковского. Интегрируя обе части уравнения в предположении постоянства скорости истечения газов vгр, находим закон возрастания скорости ракеты:

(vр)2 – (vр)1 = vгрln(m2 / m1).

Наверх

ВВЕДЕНИЕ | Теория | Задания | Приложения | Ученые