ВВЕДЕНИЕ Теория Задания Приложения Ученые


Кинематика равномерного вращения по окружности



При движении по окружности с постоянной по величине линейной скоростью v тело испытывает направленное к центру окружности постоянное центростремительное ускорение

a(центр.) = V2 / R,

где R – радиус окружности.



Вывод формулы для центростремительного ускорения



На рисунке треугольники, образованные векторами перемещений и скоростей, подобны. Учитывая, что |r1| = |r2| = Rи |v1| = |v2| = v, из подобия треугольников находим:

|V| = V*r / R

откуда

a = V2 / R

Поместим начало координат в центр окружности и выберем плоскость, в которой лежит окружность, за плоскость (x, y). Положение точки на окружности в любой момент времени однозначно определяется полярным углом j, измеряемым в радианах (рад), причем

x = R cos (j + j0),

y = R sin (j + j0)
,

где j0 определяет начальную фазу (начальное положение точки на окружности в нулевой момент времени).

В случае равномерного вращения угол j, измеряемый в радианах, линейно растет со временем:

j = wt,

где w - называется циклической (круговой) частотой. Размерность циклической частоты: [w] = c– 1 = Гц.

Циклическая частота равна величине угла поворота (измеренном в рад) за единицу времени, так что иначе ее называют угловой скоростью.

Зависимость координат точки на окружности от времени в случае равномерного вращения с заданной частотой можно записать в виде:

x = R cos (wt + j0),

y = R sin (wt + j0).


Время, за которое совершается один оборот, называется периодом T.

Частота

n = 1 / T.

Размерность частоты:

[n] = с–1 = Гц.

Связь циклической частоты с периодом и частотой: 2p = wT, откуда

w = 2p / T = 2pn.

Связь линейной скорости и угловой скорости находится из равенства:

2pR = vT,

откуда

v = 2pR / T = wR.

Выражение для центростремительного ускорения можно записать разными способами, используя связи между скоростью, частотой и периодом:

a(центр.) = V2 / R = w2* R = 4p2*n2*R = 4p2*R / T2.

Связь поступательного и вращательного движений.

Основные кинематические характеристики движения по прямой с постоянным ускорением: перемещение s, скорость v и ускорение a. Соответствующие характеристики при движении по окружности радиусом R: угловое перемещение j, угловая скорость w и угловое ускорение a (в случае, если тело вращается с переменной скоростью). Из геометрических соображений вытекают следующие связи между этими характеристиками:



  • перемещение s угловое перемещение j = s / R;

  • скорость v угловая скорость w = v / R;

  • ускорение a угловое ускорение a = a / R.



Все формулы кинематики равноускоренного движения по прямой могут быть превращены в формулы кинематики вращения по окружности, если сделать указанные замены. Например:

s = vtj = wt,

v = v0 + at * w = w0 + at.


Связь между линейной и угловой скоростями точки при вращении по окружности можно записать в векторной форме. Действительно, пусть окружность с центром в начале координат расположена в плоскости (x,y). В любой момент времени вектор R, проведенный из начала координат в точку на окружности, где находится тело, перпендикулярен вектору скорости тела v, направленному по касательной к окружности в этой точке. Определим вектор w, который по модулю равен угловой скорости w и направлен вдоль оси вращения в сторону, которая определяется правилом правого винта: если завинчивать винт так, чтобы направление его вращения совпадало с направлением вращения точки по окружности, то направление движения винта показывает направление вектора w. Тогда связь трех взаимно перпендикулярных векторов R, v и w можно записать с помощью векторного произведения векторов:

v = wx * R



Наверх

ВВЕДЕНИЕ | Теория | Задания | Приложения | Ученые