ВВЕДЕНИЕ Теория Задания Приложения Ученые


    Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии

Консервативные системы

В природе существуют такие взаимодействия, что порождаемые ими силы обладают замечательным свойством: работа этих сил при перемещении тела по замкнутому пути равна нулю. Такие силы называют консервативными, а системы, в которых действуют только консервативные силы, называют консервативными системами.

Примером консервативных сил может служить гравитационная сила. При движении тела в однородном гравитационном поле совершаемая работа равна

A = mg (h1 – h2) = – (mgh2 – mgh1).

Если тело, падающее с высоты h1 до высоты h2, затем опять поднимается на высоту h1, совершаемая при этом работа равна нулю. Аналогично при движении в поле тяготения массивного тела (см. Работа силы. Мощность):

A = (Gm1m2 / r2) - (Gm1m2 / r1) = [ ( - Gm1m2 / r2) - ( - Gm1m2 / r1) ]

и работа, совершаемая силами тяготения при обносе тела по любому замкнутому пути (например, при полном обороте планеты вокруг Солнца), равна нулю.

Другим примером консервативной силы может служить электростатическая сила притяжения или отталкивания электрических зарядов или упругая сила сжатой пружины.

Пример неконсервативных сил: сила трения.



Потенциальная энергия

Как следует из приведенных выше формул, при движении под действием консервативных сил совершаемая работа определяется разностью значений определенной величины, зависящей только от положения тела в пространстве. Назовем потенциальной энергией тела в однородном поле сил тяжести величину:

U = mgh

Тогда работа по перемещению тела из одной точки к другой будет равна:

A = – DU = – (U2 – U1).



Аналогично можно определить потенциальную энергию тела 1 в гравитационном поле тела 2, помещенного в начало координат, как

U = - Gm1m2 / r

Следует обратить внимание на знак потенциальной энергии. Он соответствует тому, что за нулевую точку отсчета потенциальной энергии выбрано ее значение на бесконечно большом расстоянии от центрального тела (действительно, при r ®  0; U ® 0). Тогда, поскольку силы тяготения всегда притягивающие, потенциальная энергия должна быть взята со знаком минус. Этот знак соответствует тому, что нужно затратить работу против сил тяготения, чтобы удалить тело на бесконечность.



Потенциальная энергия сжатой пружины

U = kx2 / 2

Во всех случаях по определению изменение потенциальной энергии, т.е. разность между конечным и начальным значением потенциальной энергии, равна взятой со знаком минус работе консервативных сил: DU = – A. Потенциальная энергия может быть всегда изменена добавлением произвольной постоянной, так как физический смысл имеет только разность значений потенциальной энергии в двух точках. Это позволяет выбирать произвольным образом начало отсчета потенциальной энергии.

Пусть тело под действием какой-то силы F переместилось на расстояние dx. Тогда совершенная работа dA = Fdx = – dU, откуда

F = – dU / dx.

Аналогично при движении в гравитационном поле работа по перемещению тела на расстояние dr вдоль радиуса равна dA = Fdr = – dU, откуда

F = – dU / dr.



Закон сохранения механической энергии

Работа, совершаемая консервативными силами, действующими на тело, равна, с одной стороны, изменению кинетической энергии тела, а с другой – взятому со знаком минус изменению потенциальной энергии. Поэтому

0,5 (m(v1)2) - 0,5 (m(v2)2) = - (U2 - U1)

или

0,5 (m(v1)2) + U1 = 0,5 (m(v2)2) + U2

Таким образом, для отдельно взятого тела сумма кинетической и потенциальной энергии этого тела сохраняется в процессе движения.

Пусть теперь рассматривается консервативная система, состоящая из N взаимодействующих тел. Можно определить полную механическую энергию E как сумму кинетической энергии K всех тел и потенциальной энергии U всех тел: E = K + U. При этом предполагается, что потенциальная энергия системы складывается из потенциальных энергий попарного взаимодействия всех тел, зависящих только от расстояния между ними:

U12 = U ( |r1 – r2| ), и т.д.

Кроме того, в потенциальную энергию системы может включаться потенциальная энергия взаимодействия частиц системы с внешними, не зависящим от времени, источниками (например, система может находиться во внешнем гравитационном поле или в постоянном электрическом поле). В любом случае потенциальная энергия является функцией только координат точек системы: U = U (r1, r2, ..., rn).

Для консервативной системы справедлив закон сохранения механической энергии.

В консервативной системе полная механическая энергия сохраняется.

Это означает, что при эволюции системы во времени энергия может переходить из одной формы в другую (кинетическая энергия – в потенциальную, и наоборот), но сумма этих двух величин не зависит от времени.



Закон сохранения полной механической энергии

Рассматривая движение тела с полной энергией Е по окружности радиусом r0 в гравитационном поле, можно установить очень важную связь между кинетической и потенциальной энергией. Действительно, запишем уравнение второго законаНьютона и уравнение закона сохранения энергии для этого тела:

E = 0,5 (mv2) - (GmM / r0)

mv2 / r0 = GmM / (r0)2

Из второго уравнения находим что можно записать в виде:

K = – U / 2,

или, воспользовавшись первым уравнением, в виде:

E = U / 2.

Полученное простое, но очень важное соотношение опирается при выводе на конкретный закон изменения потенциальной энергии с расстоянием (обратно пропорционально r) или, что то же, на закон изменения силы обратно пропорционально квадрату расстояния. Поэтому выведенная формула, связывающая значения кинетической и полной энергии частицы с ее потенциальной энергией, остается верной и для случая движения в кулоновском поле (см. Закон Кулона). Кроме того, формула может быть обобщена на случай произвольного движения по замкнутой эллиптической траектории. Соотношение 2K = – U называется теоремой вириала. Из полученного соотношения следует вывод: полная энергия частицы, движущейся по замкнутой траектории в гравитационном поле, отрицательна. Это же верно и при движении заряженной частицы в кулоновском поле притяжения.

Наверх

ВВЕДЕНИЕ | Теория | Задания | Приложения | Ученые