Теорема Чевы

Эту теорему доказал в XVIII веке итальянский инженер и математик Чева.

Пусть точки А1, B1, C1 лежат на сторонах ВС, АС и ВА треугольника АВС. Для того, чтобы отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекались, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

АС11В x BA1 :A1C x CB1:B1A = 1;

Необходимость. Пусть отрезки   и   пересекаются в одной точке O. Проведем через вершину B треугольника прямую aAC (рис. 14.1.1). Пусть прямые и  пересекают прямую a в точках M и N соответственно. Тогда из подобия треугольников и  по двум углам ( как накрест лежащие и  как вертикальные) имеем:

Аналогично из подобия треугольников и  по двум углам ( и   как пары накрест лежащих):

 

Наконец, из подобия треугольников OAC и OMN по двум углам ( и ) получаем

Перемножив соответственно правые и левые части выписанных равенств, получим необходимое равенство.

Достаточность. Пусть выполнено равенство. Покажем, что отрезки и  проходят через одну точку.

Пусть O – точка пересечения отрезков и а C' – точка пересечения отрезка AB с лучом CO. Тогда из только что доказанного следует, что

Сравнивая с условием теоремы, получим Следовательно, точки C' и совпадают.