Теорема Чевы
Эту теорему доказал в XVIII веке итальянский
инженер и математик Чева.
Пусть точки А1, B1, C1 лежат на сторонах
ВС, АС и ВА треугольника АВС. Для того, чтобы отрезки АА1, ВВ1 и СС1
пересекались, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
АС1:С1В x BA1
:A1C x CB1:B1A = 1;
Необходимость.
Пусть отрезки
и
пересекаются
в одной точке
O.
Проведем через вершину
B
треугольника прямую
a║AC
(рис. 14.1.1).
Пусть прямые
и
пересекают
прямую
a
в точках
M
и
N
соответственно. Тогда из подобия треугольников
и
по
двум углам ( как
накрест лежащие и
как
вертикальные) имеем:

Аналогично из подобия
треугольников и
по
двум углам (
и – как
пары накрест лежащих):
Наконец, из подобия
треугольников
OAC
и
OMN
по двум углам ( и
)
получаем 
Перемножив соответственно
правые и левые части выписанных равенств, получим необходимое равенство.
Достаточность. Пусть
выполнено равенство. Покажем, что отрезки
и
проходят
через одну точку.
Пусть
O
– точка пересечения отрезков
и
а
C'
– точка пересечения отрезка
AB с
лучом
CO.
Тогда из только что доказанного следует, что

Сравнивая с
условием теоремы, получим
Следовательно,
точки
C'
и совпадают.
|