Элементы фрактальной геометрии
Скачать программы построения
Фрактала
Папортника
|
Один
из первых примеров таких фигур был придуман в начале XX века немецким математиком Хельгой фон Кох и
называется Звезда Кох. Для ее построения берут равносторонний треугольник
и последовательно добавляют к нему новые, подобные треугольники, следующим
образом. На первом шаге стороны правильного треугольника разбиваются на три
равные части, и на средних отрезках, как на сторонах строятся новые правильные
треугольники со сторонами в три раза меньшими, чем у первоначального (т.е. получаются
треугольники, подобные исходному по трем сторонам). В результате получается
правильный звездчатый шестиугольник. Стороны этого шестиугольника снова
разбиваются на три равные части, и их середины заменяются на
правильные треугольники. Повторяя этот процесс, получают все более сложные
многоугольники, все более приближающиеся к предельному положению - звезде Кох (каждый
из этих многоугольников называется предфракталом, а настоящий фрактал получится
при Выясним, какова длина кривой, ограничивающей звезду Кох. Предположим, что сторона исходного равностороннего треугольника равна 1.
Как видно из
таблицы, на каждом этапе длина стороны многоугольника уменьшается в 3 раза, а
количество сторон увеличивается в 4 раза (вместо одной стороны образуется 4).
Значит, происходит увеличение периметра в Таким образом, звезда Кох, к которой приближаются многоугольники, будет иметь бесконечную длину. Вычислим площадь звезды Кох. На каждом этапе сторона <добавленного> треугольника
уменьшается в 3 раза, следовательно, его площадь уменьшается в 9 раз. Число
<добавляемых> треугольников равно числу сторон многоугольника и на каждом этапе
увеличивается в 4 раза. Следовательно, каждая следующая добавленная площадь
составляет Еще один вариант звезды Кох можно построить из квадратов последовательным добавлением к исходному квадрату подобных ему квадратов. На первом шаге стороны квадрата разбиваются на три равные части и их середины заменяются на квадраты, подобные исходному. Стороны получившегося многоугольника снова разбиваются на три равные части и их середины заменяются на квадраты. Повторяя этот процесс, будем получать все более сложные многоугольники, все более приближающиеся к искомой фигуре. Польским математиком Серпинским была придумана автоподобная фигура, называемая ковром Серпинского. Получается она следующим образом. Делят исходный квадрат на 9 равных квадратов как показано на рисунке, и серединный квадрат вырезают. Получается квадрат с дыркой. Для оставшихся восьми квадратов повторяют указанную процедуру. Разделим каждый из них на девять равных квадратов и серединные квадраты вырежем. Повторяя эту процедуру, будем получать все более дырявую фигуру. То, что остается после всех вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского. Вычислим площадь ковра Серпинского., считая исходный квадрат единичным. Для этого достаточно вычислить площадь вырезаемых квадратов.
Таким образом,
на каждом следующем этапе число вырезанных квадратов увеличивается в 8 раз, а
площадь каждого из них уменьшается в 9 раз. Значит, на каждом шаге общая
площадь вырезаемых квадратов составляет Т.е. площадь ковра Серпинского равна 0. |