Элементы фрактальной геометрии

Скачать программы построения Фрактала Папортника
   

Один из первых примеров таких фигур был придуман в начале XX века немецким математиком Хельгой фон Кох и называется Звезда Кох. Для ее построения берут равносторонний треугольник и последовательно добавляют к нему новые, подобные треугольники, следующим образом. На первом шаге стороны правильного треугольника разбиваются на три равные части, и на средних отрезках, как на сторонах строятся новые правильные треугольники со сторонами в три раза меньшими, чем у  первоначального (т.е. получаются треугольники, подобные исходному по трем сторонам). В результате получается правильный звездчатый шестиугольник. Стороны этого шестиугольника снова разбиваются на три равные части, и их середины заменяются на правильные треугольники. Повторяя этот процесс, получают все более сложные многоугольники, все более приближающиеся к предельному положению - звезде Кох (каждый из этих многоугольников называется предфракталом, а настоящий фрактал получится при )

Построение Звезды Кох

Выясним, какова длина кривой, ограничивающей звезду Кох. Предположим, что сторона исходного равностороннего треугольника равна 1.

Количество сторон

многоугольника

Длина стороны

Периметр

1 шаг

2 шаг

3 шаг

4 шаг

 Как видно из таблицы, на каждом этапе длина стороны многоугольника уменьшается в 3 раза, а количество сторон увеличивается в 4 раза (вместо одной стороны образуется 4). Значит, происходит увеличение периметра в  раза. Периметры ломаных звезды Кох образуют геометрическую прогрессию, у которой первый член равен 3, а знаменатель . Воспользовавшись формулой n-го члена геометрической прогрессии,, получим, . Например,

Таким образом, звезда Кох, к которой приближаются многоугольники, будет иметь бесконечную длину.

Вычислим площадь звезды Кох.

На каждом этапе сторона <добавленного> треугольника уменьшается в 3 раза, следовательно, его площадь уменьшается в 9 раз. Число <добавляемых> треугольников равно числу сторон многоугольника и на каждом этапе увеличивается в 4 раза. Следовательно, каждая следующая добавленная площадь составляет  от предыдущей <добавленной> площади. Это геометрическая прогрессия, у которой первый член , а знаменатель . По формуле суммы убывающей геометрической прогрессии . Таким образом, площадь звезды Кох равна .

Еще один вариант звезды Кох можно построить из квадратов последовательным добавлением к исходному квадрату подобных ему квадратов. На первом шаге стороны квадрата разбиваются на три равные части и их середины заменяются на квадраты, подобные исходному. Стороны получившегося многоугольника снова разбиваются на три равные части и их середины заменяются на квадраты. Повторяя этот процесс, будем получать все более сложные многоугольники, все более приближающиеся к искомой фигуре.

Построение Кривой Д.Пеано

Польским математиком Серпинским была придумана автоподобная фигура, называемая ковром Серпинского. Получается она следующим образом. Делят исходный квадрат на 9 равных квадратов как показано на рисунке, и серединный квадрат вырезают. Получается квадрат с дыркой. Для оставшихся восьми квадратов повторяют указанную процедуру.  Разделим каждый из них на девять равных квадратов и серединные квадраты вырежем. Повторяя эту процедуру, будем получать все более дырявую фигуру. То, что остается после всех вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского.

Вычислим площадь ковра Серпинского., считая исходный квадрат единичным. Для этого достаточно вычислить площадь вырезаемых квадратов.


Количество вырезанных

квадратов

Площадь одного вырезанного

квадрата

Общая <вырезанная> площадь

1 шаг

2 шаг

3 шаг

 Таким образом, на каждом следующем этапе число вырезанных квадратов увеличивается в 8 раз, а площадь каждого из них уменьшается в 9 раз. Значит, на каждом шаге общая площадь вырезаемых квадратов составляет  от вырезаемой площади на предыдущем этапе. Общая площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . По формуле суммы геометрической прогрессии находим

Т.е. площадь ковра Серпинского равна 0.

Построение Ковра Серпинского