Как уже было сказано на предыдущей странице, данная работа посвящена исследованию математических функций (а именно линейных и обратных функций) в физике (а именно на примере небезызвестного закона Ома). Исследовать мы будем следующим образом:
Вначале необходимо понять, что представляют собой функции в целом, и какие они бывают; что такое графики функций, и в чем заключается их смысл. Все вышеперечисленное будет происходить в этом самом разделе, то есть во введении.
После чего мы перейдем к более серьезной (исторической) части, где понаблюдаем за творческим путем замечательнейшего немецкого физика Георга Ома; узнаем, когда, где и с кем он жил и что при этом делал; посмотрим его немногочисленные фотографии; и познакомимся с открытиями этого выдающегося ученого.
Более подробно мы остановимся на самом знаменитом его открытии - законе Ома - в одноименном разделе. Там мы выясним, путем каких творческих мук был открыт закон; удивимся тому, что привычное "И равно У на ЭР" действует только для участка цепи, а чтобы узнать силу тока в замкнутой цепи, необходимо выучить громадную формулу про "Е и две буквы ЭР в разном регистре".
Изучение продолжится в прикладной части, где мы с удовольствием применим полученные из предыдущих частей знания на практике и решим все задачки. Затем мы закрепим результат просмотром небольших видеоклипов с опытами; и в конечном счете подведем итог проделанной работе в разделе "заключение".
До вывода еще не скоро, однако начнем мы им заниматься прямо сейчас, и начнем с того, что определим (разложим по полочкам) цели работы. Ставим цели:
Гипотеза:
Объектами изучения являются физика и математика с их законами;
Предметом изучения являются линейные и обратные зависимости (на примере закона Ома для участка цепи).
Теперь у нас определены идеи и цели работы. Осталось расписать приборы и материалы.
Я работала с помощью множества источников информации (учебники, книги, интернет…); всевозможных программ; цифрового фотоаппарата, амперметра, вольтметра, проводников, источника тока и резистора (для опытов); а также с помощью руководителя проекта и напарника. (Подробнее обо всем этом можно почитать в разделе "автор проекта".)
Вам же для работы понадобится лишь немного времени и компьютер с более-менее современным веб-браузером.
Вот, в общем-то и все, что я хотела сказать. А сейчас приступим к работе. Желаю удачи!
Начиная работу о функциях, первым делом необходимо понять, что из себя представляет функция: что это такое, какие они бывают, от чего они зависят, зачем они нужны...
Довльно часто на уроках математики мы встречаемся с понятием функции, так что же это такое?
"Функцией называется зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной." - определение функции, знакомое с 7 класса.
"Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y" - такое определение мы узнаем в 9 классе.
"Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу число y, зависящее от D" - наконец написано в учебнике за 10-11 класс.
|
Функцию принято обозначать как У = F(x), где у - зависимая переменная, или значение функции; х - независимая переменная, или аргумент.
Также говорят, что все значения х - область определения функции или D(f); а все значения у - область значений функции или E(f).
Как любая точная наука, математика не терпит беспорядка. Все и вся должно быть разложено по полочкам и связано логическими звеньями. Поэтому функции классифицировали в зависимости от их вида и дали каждому классу название...
Линейная функция (вида y = kx + b) | |
Обратная пропорциональность (вида y = k/x) | |
Квадратичная функция (вида у = аx² + вх + с) | |
Кубическая функция (вида у = x³) | |
Тригонометрическая функция (вида y = sin(x), y = cos(x), y = tg(x)...) | |
Логарифмическая функция (вида у = logах) | |
Показательная функция (вида у = ах) |
Глубоко и основательно мы рассмотрим линейные и обратные функции, так как их исследование является темой работы. Остальные функции разберем коротко, чтобы просто иметь представление о чем идет речь...
Квадратичная функция | |
- это функция, которую можно задать формулой вида у = аx² + вх + с, где х - независимая переменная, а, в и с - некоторые числа, причем а≠0. Функция определена на всей числовой прямой; четная. Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке (m;n), где m = -b/2a, и симметричная относительно прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку (m;n). |
![]() |
Кубическая функция | |
- это функция, которую можно задать формулой вида y = x³ Функция определена на всей числовой прямой и ее значениями является множество всех рациональных чисел. Функция возрастает на всей области определения; нечетная. Графиком кубической функции является кубическая парабола (гипербола), лежащая в I и III четвертях координатной плоскости и симметричная относительно начала координат.. |
![]() |
Тригонометрические функции | |
- это функции вида y = sin(x), y = cos(x), y = tg(x), y = ctg(x). Причем функции y = sin(x) и y = cos(x) определены на всей чисолвой прямой, y = tg(x) определена для всех действительных чисел, не равных π/2 + πk, где k принадлежит множеству целых чисел, а y = ctg(x) определена для всех действительных чисел, не равных π + πk, где k принадлежит множеству целых чисел. Графиками тригонометрических функций являются соответственно синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида. |
![]() ![]() ![]() ![]() |
Показательная функция | |
- это функция, заданная формулой вида у = ах, где а>0, а≠1. Функция определени на всей числовой прямой и ее значения принадлежат множеству всех положительных чисел. Причем функция непрерывна в каждой точке числовой прямой: при а>1 она возрастает на всей числовой прямой, а при а<1 - убывает. Графиком показательной функции является показательная кривая (экспонента). |
![]() ![]() |
Логарифмическая функция | |
- это функция вида у = logах. Функция определена на всей числовой прямой и ее значениями является множество всех рациональных чисел. Функция непрерывна на всей области определения, возрастает при а>1 и убывает при 0<а<1. Графиком логарифмической функции является логарифмика. |
![]() ![]() |
Определение:
Линейная функция - это функция, которая задана формулой y = kx + b, где x - независимая переменная, а k и b - действительные числа.
Число k называется угловым коэффициентом прямой, оно равно тангенсу угла между прямой и положительным лучом оси x, т. е k = tgα.
При k и b отличных от нуля, функция имеет следующие свойства:
График:
Графиком линейной функции является прямая, наклоненная к оси абсцисс под углом α, тангенс которого равен k, и отсекающая на оси ординат отрезок b, а на оси абсцисс - отрезок - b/k.
Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую.
Взаимное расположение графиков:
Графики линейных функций представляют собой прямые, которые либо параллельны, либо пересекаются. Расположение прямых зависит от углового коэффициента.
Пусть даны две линейные функции: y = k1x + b1 и y = k2x + b2 .
Если k1 отлично от k2, то прямые пересекаются, причем если b1 = b2, то прямые пересекаются в одной точке с координатами (0;b).
Частные случаи линейной функции:
Так как в дальнейшем речь пойдет в основном именно о прямой пропорциональности, разберем эту функцию более подробно:
Прямая пропорциональность - это функция, заданная формулой y = kx , где k≠0.
Число k называется коэффициентом пропорциональности.
Область определения функции - множество всех действительных чисел; ее область значений - вся координатная прямая.
Функция нечетная ( f(-x) = k(-x) = -kx = -f(x) );
При k>0 возрастает на всей области определения и лежит в I и III четвертях, а при k>0 - убывает и лежит в II и IV четвертях координатной плоскости.
Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.
Для ее построения достаточно найти одну точку графика, отличную от начала координат, и провести прямую через начало координат и найденную точку.
Определение:
Обратная пропорциональность - это функция, заданная формулой y = k/x , где x - независимая переменная, и k - отлично от нуля.
Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Говорят, что "Если величины x и y обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением y = k / x, где k есть некоторая постоянная величина."
Перечислим свойства этой функции:
График:
График обратной пропорциональности называют гиперболой (кривая линия, состоящая из двух ветвей).
При k>0 ветви гиперболы лежат в I и III координатных четвертях; при k<0 - во II и IV.
Легко обозримым и наглядным инструментом исследования функции является ее графическая интерпретация - график.
При этом объектом исследования является функция, а график функции позволяет по поведению геометрического объекта - линии или множества точек и линий - судить о свойствах исследуемого объекта.
Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.
Говоря о графике функции в математическом смысле мы главным образом акцентируем внимание на его построении. Для этого мы исследуем функцию по заученному на уроках алгебры алгоритму:
Такого исследования достаточно для того, чтобы довольно точно построить график зависимости y от x. Однако если подставить вместо x и y физические величины, то это совсем не значит, что график их зависимости будет идентичен графику зависимости y от x.
Это происходит потому, что x - переменная, не имеющая никаких свойств и принимающая любые значения. Физические же величины помимо функционально заданной зависимости имеют свои собственные свойства.
В качестве примера сравним графики двух идентичных функций из математики и физики:
y = 2x и V = const*T (зависимость объема газа от его температуры при изобарном процессе).
Исследуем функции y(x) и V(T):
y = 2x |
V = const*T |
1. Область определения, область значений | |
D(y)=(-∞;+∞) E(y)=(-∞;+∞) |
D(V)=(0;+∞) E(V)=(0;+∞) Это объясняется тем, что абсолютный нуль недостижим, и отрицательной температуры по кельвину быть не может. |
2. Четность/нечетность, периодичность | |
не является ни четной ни нечетной, не периодична. | не является ни четной ни нечетной, не периодична. |
3. Точки пересечения графика с осями координат | |
с Ox: (0;0) с Oy: (0;0) |
нет, так как абсолютный нуль недостижим. |
4. Промежутки знакопостоянства | |
D(y) | D(V) |
5. Промежутки возрастания и убывания | |
возрастает на D(y) | возрастает на D(V) |
6. 7. Точки экстремума; исследование функции в окрестностях этих точек | |
y'(x) = 2, а значит точек экстремума нет. | V'(T) = const, а значит точек экстремума нет. |
8. График функции | |
Прямая пропорциональность![]() |
Прямая пропорциональность (изобара)![]() |
Из исследования ясно видно, что физические функции имеют как математический так и физический смысл, и используя знания из математики при построении графиков физических функций не стоит забывать о том, что в физике существует много "но".