ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ

19 ВЕК
БУЛЬ
ГАЛУА
ГАУСС
КОШИ
ПУАНКАРЕ

ГЛАВНАЯ


ДРЕВНИЕ ГРЕКИ


СРЕДНЕВЕКОВЬЕ


16 ВЕК


17 ВЕК


18 ВЕК


19 ВЕК


РОССИЯ


МАТЕМАТИКА В 19 ВЕКЕ

  Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математич. анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за это время ч круг их применений к задачам, выдвигаемым естествознанием н техникой. Однако, помимо этого количественного роста, с последних лет 18 в. и в нач. 19 и. в развитии М. наблюдается и ряд существенно новых черт.

  Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактич. материал привёл к необходимости углублённого логич. анализа и объединения его с новых точек зрения. Открытие и введение в употребление геометрич. интерпретации комплексных чисел [К. Вессель, 1799, и Ж. Арган (Арганд), 1806], доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраич. уравнения пятой степени (Н. Абель, 1824), разработка О. Коши основ теории функций комплексного переменного, его работы по строгому обоснованию анализа бесконечно малых, создание II. 11. Лобачевским (1826, опубл. н 1829—30) и Я. Больяй (1832) неевклидовой геометрии, работы К. Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей — типичные примеры наметившихся на рубеже 18 и 19 вв. новых тенденций в развитии М. Связь М. с естествознанием приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают но только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, но также из внутренних потребностей самой М. Главная линия развития заключалась здесь в том, что переход в комплексную область делал более ясными н обозримыми свойства подлежащих изучению функций. Широкий интерес к непосредственному реальному применению функций комплексного переменного, напр., как функций, задающих конформное отображение, развился позднее, хотя возможности таких применений были намечены еще Л. Эйлером. Теория групп ведёт своё начало с рассмотрения Ж. Лагранжем (1771) групп подстановок в связи с проблемой разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений высших степеней. Э. Галуа (1830—32, опубл. в 1832, 1846) при помощи теории групп подстановок дал окончательный ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений любой степени. В сер. 19 в. А. Кэли дал общее “абстрактное” определение группы. С.Ли разработал, исходя из общих проблем геометрии, теорию непрерывных групп. И лишь после этого Е. С. Фёдоров (1890) и А. Шёнфлис (4891) установили, что теоретико-групповым закономерностям подчинено строение кристаллов; ещё позднее теория групп становится мощным средством исследования в квантовой физике. В более непосредственной и непрерывной зависимости от запросов механики и физики происходило формирование векторного исчисления и тензорного исчисления. Перенесение векторных и тензорных представлений на бесконечномерные величины происходит в рамках функционального анализа и тесно связывается с потребностями современной физики. Существенная новизна начавшегося в 19 в. этапа развития М. состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, напр., введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие М. потребовало выработки приёмов сознательного и планомерного создания новых геометрич. систем, новых “алгебр” с “некоммутативным” или даже “неассоциативным” умножением и т. д по мере возникновения в них потребности. Но трудно переоценить важность той перестройки всего склада математич. мышления, к-рая для этого должна была произойти в течение 19 в. С этой идейной стороны, наиболее значительным среди открытий нач. 19 в. явилось открытие неевклидовой геометрии Лобачевского. Именно на примере этой геометрии была преодолена вера в незыблемость освящённых тысячелетним развитием М. аксиом, была понятна возможность создания существенно новых математич. теорий путём правильно выполненной абстракции от налагавшихся ранее ограничений, но имеющих внутренний логич. необходимости, и, наконец, было обнаружено, что подобная абстрактная теория может получить со временем всё более широкие, вполне конкретные применения. Только к кон. 19 в. сложился стандарт требований к логич. строгости, остающийся и до настоящего времени господствующим в практич. работе математиков над развитием отдельных математич. теорий. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения любой математич. теории. С этой точки зрения любая математич. теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанных между собой нек-рыми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория применима к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющими положенной в её основу системе аксиом. В соответствии с этим теория может считаться логически строго построенной только в том случае, если при её развитии не используется никаких конкретных, не упомянутых в аксиомах свойств изучаемых объектов и отношений между ними, а все новые объекты или отношения, вводимые по мере развития теории сверх упомянутых в аксиомах, формально определяются через эти последние. Из указанных требований, в частности, вытекает, что математич. теория, применимая к к.-л. системе объектов, применима автоматически и к любой “изоморфной” системе. Заметим по этому поводу, что кажущееся иногда весьма абстрактным понятие изоморфизма является просто математич. выражением идеи “моделирования” физич. явлений из к.-л. одной области (напр., тепловых) физич. явлениями иной природы (напр., электрическими). Изложенная концепция строения математич. теории является, по существу, лишь нек-рой конкретизацией определения М. как науки о количественных отношениях в широком понимании термина “количественные отношения”. “Безразличие” количественных отношений к конкретной природ тех предметов, к-рые они связывают, находит здесь свое выражение в возможности свободно переходить от одной системы объектов к любой, ей изоморфной.

История математики в 19 веке и в начале 20 века

  Как уже отмечалось, наряду с развитием работ, возникших из новых запросов естествознания и техники, чрезвычайное внимание математиков с самого начала 19 в. привлекают вопросы строгого обоснования анализа. Одним из первых приступил к исследованиям в этом направлении Б. Больцано, аналитически доказавший (1817) теорему о промежуточных значениях непрерывной функции; при этом он впервые дал современное определение непрерывной функции и доказал т. н. теорему Больцано — Вейерштрасса о существовании хотя бы одной предельной точки у всякого бесконечного ограниченного точечного множества. В 1799 К. Гаусс опубликовал первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного многочлена на действительные множители первой и второй степени). Лишь значительно позже (1831) К. Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел. Тем временем Ж. Арган опубликовал в 1806 теорию комплексных чисел с их геометрич. интерпретацией и доказательством т. н. леммы Д'Алам-бора, а в 1815 — доказательство основной теоремы алгебры, близкое по идее и доказательству О. Коши (1821). Дифференциальная геометрия поверхностей создаётся К. Гауссом (1827), Ф. Миндингом и К. М. Петерсоном (1853). Для выработки новых взглядов на предмет геометрии основное значение имело создание Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии. Ю. Плюккер строит геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые, Г. Грассман создаёт афинную и метрич. геометрию n-мерного векторного пространства. Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхностей дифференциальная геометрия, по существу, также освобождается от неразрывной связи с геометрией Евклида: то, что поверхность лежит в трёхмерном евклидовом пространстве, является для этой теории случайным обстоятельством. Исходя из этого, Б. Риман создаёт (1854, опубл. в 1866) концепцию n-мерного многообразия с метрич. геометрией, определяемой дифференциальной квадратичной формой. Этим было положено начало общей дифференциальной геометрии n-мерных многообразии (см. Риманова геометрия). Б. Риману же принадлежат и первые идеи в области топологии многомерных многообразии. Конец 19 века и начало 20 века. Лишь в нач. 70-х гг. 19 в. Ф. Клейн находит модель неевклидовой геометрии Лобачевского, к-рая окончательно устраняет сомнения в её непротиворечивости. Ф. Клейн подчиняет (1872) всё разнообразие построенных к этому времени “геометрий” пространств различного числа измерений идее изучения инвариантов той или иной группы преобразований. В это ;ке время (1872) работы по обоснованию анализа получают необходимый фундамент в виде строгой теории иррациональных чисел (Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс) Чрезвычайное развитие, превосходящее предшествующие периоды не только по количеству работ, но также по совершенству п силе методов и окончательности результатов, получают в кон. 19 в. и в нач. 20 в. все разделы М., начиная с самого старого из них — теории чисел. Э. Куммер, Л. Кронекер, Р. Дедекинд, Е. И. Золотарёв и Д. Гильберт закладывают основы современной алгебраич. теории чисел. Ш. Эрмит в 1873 доказывает трансцендентность числа е, Ф. Линдеман в 1882 — числа л, Ж. Адамар (1896) и Ш. Ла Балле Пуссен (1896) завершают исследования П. Л. Чебышева о законе убывания плотности расположения простых чисел в натуральном ряду. Г. Минковский вводит II теоретико-числовые исследования геометрич. методы. В России работы по теории чисел после П. Л. Чебышева блестяще развивают, кроме уже упомянутого Е. И. Золотарёва, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной и А. А. Марков. Наибольшее число задач, выдвигаемых перед М. естествознанием и техникой, сводится к решению дифференциальных уравнений, как обыкновенных (при изучении систем с конечным числом степеней свободы), так и с частными производными (при изучении непрерывных сред и в квантовой физике). Поэтому все направления исследований дифференциальных уравнений в рассматриваемый период интенсивно культивируются. Для решения сложных линейных систем создаются методы операционного исчисления. Практич. использование результатов теоретич. математич. исследования требует получения ответа на поставленную задачу в численной форме. Между тем даже после исчерпывающего теоретич. разбора задачи это часто оказывается совсем не лёгким делом. В кон. 19 в. и в нач. 20 в. численные методы анализа выросли в самостоятельную ветвь М. Особенно большое внимание уделялось при этом методам численного интегрирования дифференциальных уравнений (методы Адамса, Штёрмера, Рунге и др.) и квадратурным формулам (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, В. А. Стеклов). Широкое развитие работ, требующих численных расчётов, привело к необходимости вычисления и публикации всё возрастающего количества математич. таблиц.