|
Кодирование и обработка числовой информации 4.1. Кодирование числовой информации 4.1.1. Представление числовой информации с помощью систем счисления Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит системы счисления состоит из символов, которые называются цифрами.
Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит. Непозиционные системы счисления. Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков: зарубок, черточек, точек. Такая система записи чисел называется единичной, так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст или используя для этого счетные палочки. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить римская система счисления, которая начала применяться более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для числа 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 используются латинские буквы С, D и М. В римской системе счисления количественное значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в римском числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину — число 10, три раза по 10 в сумме дают 30.
Чтобы записать число в римской системе счисления, необходимо разложить его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. На пример, десятичное число 28 представляется следующим образом: XXVIII =10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 (два десятка, пяток, три единицы). При записи чисел в римской системе счисления применяется правило: каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него, в остальных случаях знаки складываются. Например, римское число IX обозначает 9 (-1 + 10), а XI обозначает 11 (10 + 1). Число 99 имеет следующее представление в римской системе счисления: XCIX - -10 + 100 - 1 + 10. Позиционные системы счисления. Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание. Основание системы равно количеству цифр (знаков) в ее алфавите. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряды числа возрастают справа налево, от младших разрядов к старшим, причем значения одинаковых цифр, стоящих в соседних разрядах числа, различаются на величину основания. В настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная и двоичная. Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых арабских цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Алфавит двоичной системы — две цифры {0, 1} (табл. 4.1).
Таблица 4.1. Позиционные системы счисления
Десятичная система счисления. В десятичной системе счисления цифра в крайней справа позиции обозначает единицы, цифра, смещенная на одну позицию влево, обозначает десятки, еще левее — сотни, затем тысячи и т. д. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается в числе трижды, причем самая правая обозначает пять единиц, вторая справа — пять десятков и, наконец, третья — пять сотен. Выше десятичное число 555 было записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10, которое является основанием десятичной системы счисления. В развернутой форме записи числа умножение цифр числа на основание производится в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом: 55510 = 5*102 + 5*101 + 5*100. Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме будет записываться следующим образом: 555,5510 = 5*102 + 5*101 + 5*100+ 5*10-1+ 5*10-2.
Число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания, в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например: 555,5510 * 10 - 5555,510, 555,5510 : 10 = 55,55510. Двоичная система счисления. Числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Например, развернутая запись двоичного числа выглядит следующим образом: А2 = 1*22 + 0*21 + 1*20 + 0*2-1 + 1*2-2. Это же число в свернутой форме: А2 = 101,012. Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например: 101,012 * 2 = 1010,12, 101,012 : 2 = 10,1012.
Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, т. е. в ней использовалось шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе — 60 минут). В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и т. д. В информатике широко используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. В восьмеричной системе основание равно 8 и алфавит состоит из восьми цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Запишем восьмеричное число 77 в свернутой и развернутой формах и переведем его в десятичную систему счисления: 778 = 7*81 + 7*80 = 6310. В шестнадцатеричной системе основание равно 16 и алфавит состоит из шестнадцати цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F}, причем первые десять цифр имеют общепринятое обозначение, а для записи остальных цифр {10, 11, 12, 13, 14, 15} используются первые шесть букв латинского алфавита. Запишем шестнадцатеричное число в свернутой и развернутой формах и переведем его в десятичную систему счисления: ABCDEF16 = A*165 + В*164 + С*163 + D*162 + Е*161 + F*160 = 10*165 + 11*164 + 12*163 + 13*162 + 14*161 + 15*160 = 11 259 37510.
1. Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных? 2. Каково основание десятичной системы счисления? Двоичной системы счисления? 3. Какие цифры входят в алфавит десятичной системы счисления? Двоичной системы счисления? 4. На какую величину в позиционных системах счисления различаются одинаковые цифры, стоящие в соседних разрядах числа? 5. Может ли в качестве цифры использоваться символ буквы?
4.1. Задание с кратким ответом. Запишите числа 3,1410 и 10,12 в развернутой форме. 4.2. Задание с кратким ответом. Во сколько раз увеличатся числа 10,110 и 10,12 при переносе запятой на один знак вправо? 4.3. Задание с кратким ответом. При переносе запятой на два знака вправо число 11,11x увеличилось в 4 раза. Чему равно основание системы счисления x? 4.4. Задание с кратким ответом. Какое минимальное основание может иметь система счисления, если в ней записано число 11? Число 99? 4.5.
Задание с кратким ответом. Запишите год, месяц и число своего рождения с
помощью римских цифр. 4.1.2. Перевод чисел в позиционных системах счисления Человек использует десятичную систему счисления, а компьютер — двоичную систему счисления. Поэтому часто возникает необходимость перевода чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот. Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления. Преобразование чисел из двоичной системы счисления в десятичную выполнить довольно легко. Для этого необходимо записать двоичное число в развернутой форме и вычислить его значение. Возьмем любое двоичное число, например 10,112. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления: 10,112 = 121 + 0*20 + 1*2-1 + 1*2-2 = 1*2 + 0*1 + 1*1/2 + 1*1/4 = 2,7510. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное следующий: 1) последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы счисления (на 2) до тех пор, пока частное от деления не окажется равным нулю; 2) получить искомое двоичное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности. В качестве примера рассмотрим перевод десятичного числа 1910 в двоичную систему счисления, записывая результаты в таблицу (табл. 4.2). Таблица 4.2. Перевод целого числа из десятичной системы счисления в двоичную
В результате получаем двоичное число: А2 = 100112. Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления. Алгоритм перевода десятичной дроби в двоичную следующий: 1) последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробей на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений; 2) получить искомую двоичную дробь, записав полученные целые части произведений в прямой последовательности. В качестве примера рассмотрим перевод десятичной дроби 0,7510 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу (табл. 4.3).
Таблица 4.3. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную
В результате получаем двоичную дробь: А2 = 0,112. Перевод чисел, содержащих и целую, и дробную часть, производится в два этапа. Отдельно переводится по соответствующему алгоритму целая часть и отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть от дробной отделяется запятой.
4.6. Задание с развернутым ответом. Переведите в десятичную систему двоичные числа: 1012, 102, 1112. 4.7. Задание с развернутым ответом. Переведите целое десятичное число 1010 в двоичную систему счисления. 4.8. Задание с развернутым ответом. Переведите десятичную дробь 0,2510 в двоичную систему счисления. 4.9.
Задание с развернутым ответом. Переведите десятичное число 10,2510 в
двоичную систему счисления. 4.1.3. Арифметические операции в позиционных системах счисления Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам. Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10. Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания системы счисления, для двоичной системы счисления — большей или равной 2. Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 1102 и 112. +1102 112 10012 Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим. 1102 = 1*22 + 1*21 + 0*20 = 610 112 = 1*22 + 1*20 = 310 610 + 310 = 910 Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число. 10012 = 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 910 Сравнение результатов показывает, что сложение выполнено правильно. Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой. 0 - 0 = _0, 0 - 0 = 11, 1 - 0 = 1, 1 - 1 = 0. Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 1102 и 112. Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел: 0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1. Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел 1102 и 112. x1102 112 110 110 100102 Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 1102 на 112.
Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему.
4.10. Задание с развернутым ответом. Выполните сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 10102 и 102.
4.1.4. Двоичное кодирование чисел в компьютере Числа в компьютере хранятся и обрабатываются в двоичной системе счисления. Оперативная память компьютера состоит из ячеек, в каждой из которых может храниться 8 битов информации, т. е. 8 разрядов двоичного числа. Целые числа в компьютере хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой. В этом случае каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а запятая находится справа после младшего разряда, т. е. вне разрядной сетки. Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 битов). Например, число А2 = = 111100002 будет храниться в ячейке памяти следующим образом:
Определим диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате целого неотрицательного числа. Минимальное число записывается в восьми разрядах памяти восемью нулями и равно 0. Максимальное число записывается восемью единицами и равно: А = 1*27 +1*26 +1*25 + 1*24 + 1*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20 = 1*28 - 1 = 25510. Таким образом, диапазон изменения целых неотрицательных чисел — от 0 до 255. Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячейки памяти (16 битов), причем старший (левый) разряд отводится под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное, записывается 1). Например, отрицательное число -200210 = 111110100102 будет представлено в 16-разрядном представлении следующим образом:
Максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) для данного формата представления равно: А = 215 - 1 = 32 76710. Достоинствами представления чисел в формате с фиксированной запятой являются простота и наглядность представления чисел, а также простота алгоритмов реализации арифметических операций. Недостатком является небольшой диапазон представления величин, недостаточный для решения математических, физических, экономических и других задач, в которых используются как очень малые дробные, так и очень большие числа.
2.9. Представление чисел
в компьютере Информатикаи информационные
технологии 10-11
Для представления чисел в диапазоне от очень маленьких дробей до очень больших чисел с высокой точностью используется формат с плавающей запятой. В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться. Число в форме с плавающей запятой занимает в памяти компьютера 4 байта (число обычной точности) или 8 байтов (число двойной точности).
4.11. Задание с развернутым ответом. В каком виде будет храниться в компьютере десятичное число 1010 в формате целого неотрицательного числа и целого числа со знаком?
4.2.1. Основные параметры электронных таблиц Электронные таблицы позволяют обрабатывать большие массивы числовых данных. В отличие от таблиц на бумаге электронные таблицы обеспечивают проведение динамических вычислений, т. е. пересчет по формулам при введении новых чисел. В математике с помощью электронных таблиц можно представить функцию в числовой форме и построить ее график, в физике — обработать результаты лабораторной работы, в географии или истории — представить статистические данные в форме диаграммы.
Электронные таблицы — это работающее в диалоговом режиме приложение, хранящее и обрабатывающее данные в прямоугольных таблицах.
Столбцы, строки, ячейки. Электронная таблица состоит из столбцов и строк. Заголовки столбцов обозначаются буквами или сочетаниями букв (А, С, АВ и т. п.), заголовки строк — числами (1, 2, 3 и далее). На пересечении столбца и строки находится ячейка, которая имеет индивидуальный адрес. Адрес ячейки электронной таблицы составляется из заголовка столбца и заголовка строки, например Al, B5, ЕЗ. Ячейка, с которой производятся какие-то действия, выделяется рамкой и называется активной. Так, в приведенной ниже таблице 4.4 активной ячейкой является ячейка СЗ.
Рабочие листы и книги. При работе на компьютере электронная таблица существует в форме рабочего листа, который имеет имя (например, Лист 1). Рабочие листы объединяются в книги, причем пользователь может вставлять, копировать, удалять и переименовывать рабочие листы. При создании, открытии или сохранении документа в электронных таблицах речь идет фактически о создании, открытии или сохранении книги. При работе с электронными таблицами можно вводить и изменять данные одновременно на нескольких рабочих листах, а также выполнять вычисления на основе данных из нескольких листов. Диапазон ячеек. В процессе работы с электронными таблицами достаточно часто требуется выделить несколько ячеек — диапазон ячеек. Диапазон задается адресами ячеек верхней и нижней границ диапазона, разделенными двоеточием. Можно выделить несколько ячеек в столбце (диапазон А2:А4), несколько ячеек в строке (диапазон С1:Е1) или прямоугольный диапазон (диапазон СЗ:Е4) (табл. 4.5).
Таблица 4.5. Диапазоны ячеек в столбце, строке и прямоугольный диапазон
Внешний вид таблицы. Внешний вид таблицы, выделенных диапазонов ячеек или отдельных ячеек можно изменять. Для границ ячеек можно установить различные типы линий (одинарная, пунктирная, двойная и др.), их толщину и цвет. Сами ячейки можно закрасить в любой цвет путем выбора цвета из палитры цветов.
Редактирование листов. Из таблицы можно удалять столбцы, строки, диапазоны ячеек
и отдельные ячейки. В процессе удаления диапазонов ячеек и отдельных ячеек
требуется указать, в какую сторону (влево или вверх) будет производиться сдвиг
ячеек.
1. Как обозначаются столбцы и строки электронной таблицы? Как задается имя ячейки? 2. Какие операции можно производить над основными объектами электронных таблиц (ячейками, диапазонами ячеек, столбцами, строками, листами, книгами)?
4.12. Задание с кратким ответом. Запишите имя активной ячейки и имена выделенных диапазонов ячеек.
4.2.2. Основные типы и форматы данных В работе с электронными таблицами можно выделить три основных типа данных: числа, текст и формулы. Числа. Для представления чисел могут использоваться несколько различных форматов (числовой, экспоненциальный, дробный и процентный). Существуют специальные форматы для хранения дат (например, 25.09.2003) и времени (например, 13:30:55), а также финансовый и денежный форматы (например, 1500,00р.), которые используются при проведении бухгалтерских расчетов. По умолчанию для представления чисел электронные таблицы используют числовой формат, который отображает Два десятичных знака числа после запятой (например, 195,20). Экспоненциальный формат применяется, если число, содержащее большое количество разрядов, не умещается в ячейке. В этом случае разряды числа представляются с помощью положительных или отрицательных степеней числа 10. Например, числа 2000000 и 0,000002, представленные в экспоненциальном формате как 2-10° и 210°, будут записаны в ячейке электронных таблиц в виде 2,00Е+06 и 2,00Е-06. По умолчанию числа выравниваются в ячейке по правому краю. Это объясняется тем, что при размещении чисел друг под другом (в столбце таблицы) удобно иметь выравнивание по разрядам (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.). Текст. Текстом в электронных таблицах является последовательность символов, состоящая из букв, цифр и пробелов. Например, последовательность цифр «2004» — это текст. По умолчанию текст выравнивается в ячейке по левому краю. Это объясняется традиционным способом письма (слева направо). Формулы. Формула должна начинаться со знака равенства и может включать в себя числа, имена ячеек, функции и знаки математических операций. Однако в формулу не может входить текст. Например, формула =А1+В1 обеспечивает сложение чисел, хранящихся в ячейках А1 и В1, а формула =А1*5 — умножение числа, хранящегося в ячейке А1, на 5. При изменении исходных значений, входящих в формулу, результат пересчитывается немедленно. В процессе ввода формулы она отображается как в самой ячейке, так и в строке формул (рис. 4.1). После окончания ввода, которое обеспечивается нажатием клавиши {Enter}, в ячейке отображается не сама формула, а результат вычислений по этой формуле.
Рис. 4.1. Ввод формул
Для просмотра формулы необходимо выделить ячейку с формулой, в строке формул появится введенная ранее формула. Для редактирования формулы необходимо щелкнуть по ячейке или строке формул и провести редактирование. Для одновременного просмотра всех введенных формул можно задать специальный режим отображения формул, при котором в ячейках отображаются не результаты вычислений, а сами формулы. Ввод и копирование данных. Ввод в ячейки чисел, текстов и формул производится с помощью клавиатуры.
Ввод в формулы имен ячеек можно осуществлять выделением нужной ячейки с помощью мыши.
Данные можно копировать или перемещать из одних ячеек или диапазонов ячеек в другие ячейки или диапазоны ячеек.В процессе копирования можно вставлять в ячейки не только сами данные, но и формат данных и параметры оформления ячеек (тип границы и цвет заливки). Для быстрого копирования данных из одной ячейки сразу во все ячейки определенного диапазона используется специальный метод: сначала выделяется ячейка и требуемый диапазон, а затем вводится команда [Заполнитъ-вниз] (вправо, вверх, влево)
1. Какие типы данных могут обрабатываться в электронных таблицах? 2. В каких форматах данные могут быть представлены в электронных таблицах?
4.13. Задание с кратким ответом. Запишите формулы: • сложения чисел, хранящихся в ячейках А1 и В1; • вычитания чисел, хранящихся в ячейках A3 и В5; • умножения чисел, хранящихся в ячейках С1 и С2; • деления чисел, хранящихся в ячейках А10 и В10.
4.2.3. Относительные, абсолютные и смешанные ссылки В формулах могут использоваться ссылки на адреса ячеек. Существуют два основных типа ссылок: относительные и абсолютные. Различия между относительными и абсолютными ссылками проявляются при копировании формулы из активной ячейки в другие ячейки. Относительные ссылки. При перемещении или копировании формулы из активной ячейки относительные ссылки автоматически изменяются в зависимости от положения ячейки, в которую скопирована формула. При смещении положения ячейки на одну строку в формуле изменяются на единицу номера строк, а при перемещении на один столбец на одну букву смещаются имена столбцов. Так, при копировании формулы из активной ячейки С1, содержащей относительные ссылки на ячейки А1 и В1, в ячейку D2 имена столбцов и номера строк в формуле изменятся на один шаг соответственно вправо и вниз. При копировании формулы в ячейку ЕЗ имена столбцов и номера строк в формуле изменятся на два шага соответственно вправо и вниз и т. д. (табл. 4.6).
Таблица 4.6. Относительные ссылки
Создадим в электронных таблицах фрагмент таблицы умножения. В столбцах А и В разместим числа от 1 до 9, а в столбце С — их произведения. Для этого введем в ячейки А1 и В1 число 1, в ячейку С1 — формулу =А1*В1, а в ячейки А2 и В2 — формулы =А1+1 и =В1+1 с относительными ссылками. Тогда для заполнения таблицы достаточно будет просто скопировать формулы в нижележащие ячейки (табл. 4.7).
Таблица 4.7. Фрагмент таблицы умножения
Абсолютные ссылки. Абсолютные ссылки в формулах используются для указания фиксированного адреса ячейки. При перемещении или копировании формулы абсолютные ссылки не изменяются. В абсолютных ссылках перед неизменяемыми именем столбца и номером строки ставится знак доллара (например, $А$1). Так, при копировании формулы из активной ячейки С1, содержащей абсолютные ссылки на ячейки $А$1 и $В$1, значения столбцов и строк в формуле не изменятся (табл. 4.8). Таблица 4.8. Абсолютные ссылки
В качестве примера использования в формуле абсолютной ссылки рассмотрим пересчет цен из долларов в рубли. Ранее была составлена таблица, содержащая цены устройств компьютера в условных единицах. Для того чтобы вычислить цены устройств в рублях, необходимо умножить цену в условных единицах на величину ее курса к рублю. Пусть названия устройств размещены в ячейках столбца А, их цены в условных единицах — в ячейках столбца В, цены в рублях будут вычисляться в ячейках столбца С, а значение курса условной единицы к рублю хранится в ячейке Е2. Тогда в ячейку С 2 необходимо ввести формулу =В2*$Е$2, содержащую абсолютную ссылку, и скопировать ее в нижележащие ячейки столбца С (табл. 4.9).
Таблица 4.9. Вычисление цены устройств компьютера в рублях по заданному курсу доллара
Смешанные ссылки. В формуле можно использовать смешанные ссылки, в которых координата столбца относительная, а строки — абсолютная (например, А$1), или, наоборот, координата столбца абсолютная, а строки — относительная (например, $В1) (табл. 4.10). Таблица 4.10. Смешанные ссылки
В качестве примера использования в формуле смешаной ссылки можно рассмотреть пересчет цен из условных единиц в рубли по двум курсам (доллара и евро). Пусть в созданной нами таблице цен устройств компьютера в ячейке Е2 хранится курс доллара к рублю, а в ячейке F2 — курс евро к рублю. Тогда в ячейку С2 необходимо ввести формулу =$В2*Е$2, содержащую смешанные ссылки, и скопировать ее в нижележащие ячейки столбца С, а затем — в соседние ячейки столбца D (табл. 4.11). Таблица 4.11. Вычисление цены устройств компьютера в рублях по заданным курсам доллара и евро
1. Как изменяется при копировании в ячейку, расположенную в соседнем столбце и строке, формула, содержащая относительные ссылки? Абсолютные ссылки? Смешанные ссылки?
4.14. Задание с кратким ответом. Какой вид приобретут формулы, хранящиеся в диапазоне ячеек С1:СЗ, при их копировании в диапазон ячеек Е2:Е4?
4.15. Практическое задание. Проверьте в электронных таблицах правильность ответов на предыдущее задание.
Формулы могут включать в себя не только адреса ячеек и знаки арифметических операций, но и функции. Электронные таблицы имеют несколько сотен встроенных функций, которые подразделяются на категории: Математические, Статистические, Финансовые, Дата и время и т. д.
Суммирование. Одной из наиболее часто используемых операций является
суммирование значений диапазона ячеек. Для этого необходимо выделить диапазон,
причем для ячеек, расположенных в одном столбце или строке, достаточно для
вызова функции суммирования чисел СУММ() щелкнуть по кнопке Автосумма
Результат суммирования будет записан в ячейку, следующую за последней ячейкой диапазона в столбце (например, =СУММ(А2:А4)), строке (например, =СУММ(С1:Е1)) или прямоугольном диапазоне ячеек (например, =СУММ(СЗ:Е4)) (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Суммирование значений диапазонов ячеек
При суммировании значений ячеек выделенный диапазон можно откорректировать путем перемещения границы диапазона с помощью мыши или введением в формулу адресов ячеек с клавиатуры. Степенная функция. В математике широко используется степенная функция у = хn, где х — аргумент, а n — показатель степени (например, у = х2 , у = х3 и т. д.). Ввод функций в формулы можно осуществлять с помощью клавиатуры или с помощью Мастера функций, который предоставляет пользователю возможность вводить функции с использованием последовательностей диалоговых панелей. Например, если в ячейке В1 хранится значение аргумента х функции, то вид функции, введенной с клавиатуры (ячейка В2), будет =В1^2, а введенной с помощью мастера функций (ячейка ВЗ) — СТЕПЕНЬ(В1;2) (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Степенная функция у = х2
Квадратный корень. Квадратный корень является степенной функцией с дробным
показателем n = 1/2. Записывается эта функция обычно с использованием знака
квадратного корня: у = Например, если в ячейке В1 хранится значение аргумента х функции, то вид функции, введенной с клавиатуры (ячейка В2), будет =В1^(1/2), а введенной с помощью мастера функций (ячейка ВЗ) — =КОРЕНЬ(В1) (рис. 4.4).
Рис. 4.4.
Квадратный корень у =
Таблица значений функции. В электронных таблицах можно не только вычислить значение функции для любого заданного значения аргумента, но и представить функцию в форме таблицы числовых значений аргумента и вычисленных значений функции. Заполнение таблицы можно существенно ускорить, если использовать операцию Заполнить. Сначала в первую ячейку строки аргументов вводится наименьшее значение аргумента (например, в ячейку В1 вводится число -4), а во вторую ячейку вводится формула, вычисляющая следующее значение аргумента с учетом величины шага аргумента (например, =В1+1). Далее эта формула вводится во все остальные ячейки таблицы с использованием операции Заполнить вправо. Аналогично, в первую ячейку строки значений функции вводится формула вычисления функции (например, в ячейку В2 вводится формула =В1^2), далее эта формула вводится во все остальные ячейки таблицы с использованием операции Заполнить вправо (табл. 4.12).
Таблица 4.12. Числовое представление квадратичной функции y=x2
4.16. Задание с кратким ответом. Какие значения будут получены в ячейках А5, F1 и F4 после суммирования значений различных диапазонов ячеек (см. рис. 4.2)? Проверить в электронных таблицах. 4.17. Задание с кратким ответом. Какие значения будут получены в ячейках В2 и ВЗ после вычисления значений степенной функции (см. рис. 4.3)? Проверить в электронных таблицах. 4.18. Задание с кратким ответом. Какие значения будут получены в ячейках В2 и ВЗ после вычисления значений квадратного корня (см. рис. 4.4)? Проверить в электронных таблицах. 4.19.
Практическое задание. Построить таблицу значений функции
у =
4.3. Построение диаграмм и графиков
4.3.1. Основные параметры диаграмм Электронные таблицы позволяют визуализировать данные, размещенные на рабочем листе, в виде диаграммы. Диаграмма наглядно отображает зависимости между данными, что облегчает восприятие и помогает при анализе и сравнении данных. Типы диаграмм. Диаграммы могут быть различных типов, которые представляют данные в различной форме. Для каждого набора данных важно правильно подобрать тип создаваемой диаграммы. Для наглядного сравнения различных величин используются линейчатые диаграммы, в которых высота столбца пропорциональна значению величины. Линейчатые диаграммы могут быть плоскими или объемными, причем столбцы могут быть расположены как вертикально (гистограмма), так и горизонтально. Например, с помощью линейчатой диаграммы можно наглядно представить данные о численности населения различных стран мира. Для отображения величин частей некоторого целого применяется круговая диаграмма, в которой величина кругового сектора пропорциональна значению части. Круговые диаграммы могут быть плоскими или объемными, причем секторы могут быть раздвинуты (разрезанная круговая диаграмма). Например, круговая диаграмма позволяет наглядно показать долю цен отдельных устройств компьютера в его общей цене. Для построения графиков функций и отображения изменения величин в зависимости от времени используются диаграммы типа график. На плоских графиках маркерами отображаются значения числовой величины, которые соединяются между собой плавными линиями. Объемный график представляет изменение величины с помощью цветной трехмерной фигуры (рис. 4.5).
Рис. 4.5. Основные типы диаграмм: линейчатая, круговая, график
Диапазон исходных данных: ряды данных и категории. При создании диаграммы в электронных таблицах, прежде всего, необходимо выделить диапазон ячеек, содержащий исходные данные для ее построения. Диаграммы связаны с исходными данными на рабочем листе и обновляются при обновлении данных на рабочем листе. Выделенный диапазон исходных данных включает в себя как ряды данных, так и категории. Ряд данных — это множество значений, которые необходимо отобразить на диаграмме. На линейчатой диаграмме значения ряда данных отображаются с помощью столбцов, на круговой — с помощью секторов, на графике — точками, имеющими заданные координаты у. Категории задают положение значений ряда данных на диаграмме. На линейчатой диаграмме категории являются «подписями» под столбцами, на круговой диаграмме — названиями секторов, а на графике категории используются для обозначения делений на оси X. Если диаграмма отображает изменение величины во времени, то категории всегда являются интервалами времени: это дни, месяцы, годы и т. д. Ряды данных и категории могут размещаться как в столбцах, так и в строках электронной таблицы. Оформление диаграммы. Диаграммы могут располагаться как на отдельных листах, так и на листе с данными (внедренные диаграммы). Область диаграммы кроме обязательной области построения диаграммы может содержать названия оси категорий и оси значений, заголовок диаграммы и легенду. Внешний вид диаграммы можно настраивать. С помощью мыши можно изменять размеры области внедренной диаграммы, а также перемещать ее по листу (рис. 4.6).
Рис. 4.6. Область диаграммы
Область построения диаграммы является основным объектом в области диаграмм, так как именно в ней производится графическое отображение данных. В линейных диаграммах можно изменять цвет столбцов, в круговых — цвет секторов, в графиках — форму, размер и цвет маркеров и соединяющих их линий. Линейчатые диаграммы и графики содержат ось категорий (ось X) и ось значений (ось У), формат которых можно изменять (толщину, вид и цвет линий). Важнейшим параметром осей является шкала, которая определяет минимальные и максимальные значения, а также цену основных и промежуточных делений. Рядом с делениями шкалы по оси категорий размещаются названия категорий, а рядом с делениями шкалы по оси значений — значения ряда данных. В круговых диаграммах названия категорий и значения ряда данных отображаются рядом с секторами диаграммы. Для более точного определения величины столбцов линейчатой диаграммы и положений маркеров графика можно использовать горизонтальные и вертикальные линии сетки. Основные линии сетки продолжают основные деления шкалы, а промежуточные линии — промежуточные деления шкалы. Название диаграммы и названия осей можно перемещать и изменять их размеры, а также можно изменять тип шрифта, его размер и цвет. Легенда содержит названия категорий и показывает используемый для их отображения цвет столбцов в линейчатых диаграммах, цвет секторов — в круговых диаграммах, форму и цвет маркеров и линий — на графиках. Легенду можно перемещать и изменять ее размеры, а также можно изменять тип используемого шрифта, его размер и цвет.
1. Какой тип диаграммы целесообразно использовать и почему: • для построения графика функции; • для сравнительного анализа площадей территорий некоторых стран; • для анализа распределения вами времени суток на различные виды деятельности (сон, учеба, выполнение домашних заданий, развлечения и др.)? 2. Как отображаются на диаграммах ряды данных и категории? 3. Каковы основные элементы области диаграммы и их назначение?
4.3.2. Построение диаграмм с использованием Мастера диаграмм Для создания диаграмм используется Мастер диаграмм. Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Построение линейчатых диаграмм. Рассмотрим использование Мастера диаграмм для построения линейчатой диаграммы, позволяющей сравнить количество населения в восьми наиболее населенных странах мира (табл. 4.13).
Таблица 4.13. Население некоторых стран мира
На первом шаге необходимо выделить в таблице диапазон исходных данных и выбрать тип диаграммы. В данном случае диапазон — А2:В8, тип — линейчатая диаграмма. На втором шаге необходимо определить, в строках или столбцах хранятся названия категорий и ряд данных, а также уточнить, в какой строке или каком столбце содержатся категории. В данном случае набор категорий (названия строк) содержится в столбце А, а ряд данных (численность населения) — в столбце В. На третьем шаге необходимо настроить внешний вид диаграммы: ввести заголовок диаграммы (например, «Население некоторых стран мира») и названия оси категорий (например, «Страна») и оси значений (например, «Кол-во населения (миллионов человек)») и определить наличие горизонтальных линий сетки. Для идентификации столбцов вместо вывода под столбцами названий стран (категорий) удобнее использовать легенду. На четвертом шаге необходимо выбрать вариант размещения диаграммы (например, на листе с данными). В результате будет построена гистограмма, в которой высота столбцов пропорциональна численности населения в странах (рис. 4.7).
Рис. 4.7. Гистограмма с легендой
Построение круговых диаграмм. Рассмотрим использование Мастера диаграмм для построения круговой диаграммы, позволяющей наглядно представить долю цены каждого устройства в общей цене компьютера (табл. 4.14). Таблица 4.14. Цена устройств компьютера
На первом шаге необходимо выделить в таблице диапазон исходных данных и выбрать тип диаграммы. В данном случае диапазон — А2:В11, тип — круговая диаграмма. На втором шаге необходимо определить, в строках или столбцах хранятся названия категорий и ряд данных, а также уточнить, в какой строке или каком столбце содержатся категории. В данном случае набор категорий (названия устройств) содержится в столбце А, а ряд данных (цены) — в столбце В. На третьем шаге необходимо настроить внешний вид диаграммы. Следует ввести заголовок диаграммы (например, «Доли цен устройств в цене компьютера»). Для идентификации секторов вместо вывода легенды отобразить рядом с секторами наименования категорий и значения долей цен устройств в процентах. На четвертом шаге необходимо выбрать вариант размещения диаграммы (например, на отдельном листе). В результате будет построена круговая диаграмма, в которой размеры угловых секторов пропорциональны долям цен устройств в общей цене компьютера (рис. 4.8).
Рис. 4.8. Круговая диаграмма без легенды
Построение графиков. В качестве примера построения диаграммы типа график
выполним построение графиков квадратичной функции у=х2-3 и функции
квадратного корня у =
Алгебра 8
Функции представим в форме таблицы числовых значений аргумента и вычисленных значений функций. На первом шаге необходимо выделить в таблице диапазон исходных данных и выбрать тип диаграммы. В данном случае диапазон — B1:J3, тип — график (табл. 4.15).
Таблица 4.15. Числовое представление квадратичной функции у = х2 - 3 и функции
квадратного корня у =
На втором таге необходимо определить, в строках или столбцах хранятся названия
категорий и ряды данных, а также уточнить, в какой строке или каком столбце
содержатся категории. В данном случае набор категорий содержится в строке
значений аргумента функций (строке 1), а рядами данных являются вычисленные
значения функции у = х2 - 3 (строка 2) и функции у =
На третьем шаге необходимо настроить внешний вид диаграммы: ввести заголовок диаграммы и названия осей, уточнить параметры шкал осей категорий и значений, определить наличие и внешний вид сетки и легенды и т. д. На четвертом шаге необходимо выбрать вариант размещения диаграммы: на отдельном листе или на листе с данными (внедренная диаграмма).
В результате будут построены два графика функций у = х2 - 3 и у =
1. Какие действия необходимо произвести в процессе построения диаграммы с помощью Мастера диаграмм на первом, втором, третьем и четвертом шагах?
4.20. Практическое задание. Постройте диаграмму, показывающую значения в миллиметрах некоторых единиц измерения длины, пользуясь приведенными в таблице данными.
4.21. Практическое задание. Постройте диаграмму, показывающую распределение вами времени суток на различные виды деятельности (сон, учеба, выполнение домашних заданий, развлечения и др.). 4.22. Практическое задание. Постройте график линейной функции у = 5х - 2 на отрезке [-5; 5] с шагом 1.
Практические работы компьютерного практикума, рекомендуемые для выполнения в процессе изучения главы 4 № 19:Перевод чисел из одной системы счисления в другую с помощью калькулятора № 20:Арифметические вычисления в различных системах счисления с помощью калькулятора № 21:Использование относительных, абсолютных и смешанных ссылок в электронных таблицах № 22:Создание таблиц значений функций в электронных таблицах № 23: Построение диаграмм различных типов |
Бабий Даниил 2008 год |