В истории черпаем мы мудрость, в поэзии—остроумие, в математике—проницательность.

                                                                                                        Ф.Бэкон

 

Квадратные уравнения у ал—Хорезми

Мухаммед бен Муса аль-Хорезми

родился в эпоху великого культурного и научного подъема в исламском мире (приблизительно в 786 году)

 

        Общепризнанно, что основателем алгебры является Абу Джафар Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. Научный труд «Китаб аль-джебр валь-мукабала» («Краткая книга восполнения и противостояния») был наиболее известной и значительной из всех работ Аль-Хорезми. В алгебраическом трактате даётся классификация линейных и квадратных уравнений.

        «Наиболее легкая и полезная вещь в арифметике, например, то, что постоянно требуется человеку в делах наследования, получения наследства, раздела имущества, судебных разбирательствах, торговых отношениях или при измерении земельных участков, рытье каналов, геометрических вычислениях, а также в других случаях». Книга начинается с введения натуральных чисел, далее идет представление главной темы первого раздела книги — решения уравнений. Все представленные уравнения являются линейными или квадратными и состоят из чисел, их квадратов и корней. Трактат ал-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

         Интересно отметить, что во всех книгах Аль-Хорезми математические вычисления фиксируются исключительно при помощи слов, — ни один символ, таким образом, им не использовался.  Он приводит уравнения (линейные и квадратные) к одной из шести стандартных форм:  

1) квадраты равны корням, т.е. ax2 = bx

2) квадраты равны числу, т.е. ax2 = c; 

3) корни равны числу, т.е. ax = c; 

4 ) квадраты и числа равны  корням,  т.е. ax2 + c = bx

5) квадраты и корни равны числу,  т.е. ax2 + bx = c.

        Аль-Хорезми  методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации рассматривает уравнение                             

                х  2  + 10x = 39

   Площадь большего квадрата равна   (x + 5)2. 

Она складывается из площади   x2 +10 x  фигуры, закрашенной  голубым цветом, равной левой части  рассматриваемого уравнения, и площади четырёх квадратов со стороной , равной 25. Таким образом,  (x + 5)2= 39 + 25,  

x + 5 = 8 ;

x1 =3;   x2 = -13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо берутся во внимание уравнения, у которых ет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приёмами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Пример:

       Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень  (подразумевается корень уравнения  x2+ 21 = 10x ).

        Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Блок-схема: перфолента: МОУ 
Тулиновская средняя общеобразовательная школа

 

 

 

 

  

        x2