Решение рациональных неравенств

Рациональные неравенства — неравенства вида Рn(х) > 0 (Рn(х) < 0, Pn(х) больше или равно 0, Pn(х) меньше или равно 0),
> 0 ( < 0, больше или равно 0, меньше или равно 0), где Рn(х), Qm(х) — многочлены соответственно степеней n и m,
т. е.
Рn(х) = a0xn + a1xn-1+ a2xn-2 + ... + an-1x + an,
Qm(х) = b0xm + b1xm-1+ b2xm-2 + ... + bm-1x + bm.


Решение рациональных неравенств методом интервалов

В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х - а): точка х = α делит числовую ось на две части — справа от точки α двучлен (х-α)>0, а слева от точки α (х-α)<0.
Пусть требуется решить неравенство (x-α1)(x-α2)...(x-αn)>0, где α1, α2...αn-1, αn фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α1 < α2 <...< αn-1 < αn . Для решения неравенства (x-α1)(x-α2)...(x-αn)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α1, α2...αn-1, αn; в промежутке справа от наибольшего из них, т. е. числа αn, ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т. д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α1)(x-α2)...(x-αn)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α1)(x-α2)...(x-αn)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».


Пример 1. Решить неравенство (x - 1)(x - 3) > 0.

Р е ш е н и е. Многочлен f(x) = (x - 1)(x - 3) обращается в нуль в точках х = 1, х = 3. Эти точки разбивают координатную прямую на промежутки (-бесконечность;1), (1;3); (3;+бесконечность), внутри каждого из которых функция f(x) сохраняет знак. Так как в промежутке (3;+бесконечность) сомножители (х — 1), (х — 3) положительны, то и их произведение положительно, т. е. f(x) > 0. Отметим промежуток (3;+бесконечность) знаком «+». Далее знаки в промежутках чередуются. Проводим через отмеченные точки «кривую знаков». Иллюстрацию с помощью «кривой знаков» понимаем так: на тех промежутках, где «кривая знаков» проходит выше координатной прямой (где ставится знак «+»), выполняется неравенство f(x) > 0; на тех промежутках, где кривая проходит ниже прямой (где знак «-»), выполняется неравенство f(x) < 0. В результате получаем, что решение исходного неравенства есть объединение промежутков: (-бесконечность;1), (3;+бесконечность). Это множество на рисунке заштриховано.

Ответ: x принадлежит (-бесконечность;1) U (3;+бесконечность).



Решение рациональных неравенств методом замены переменной

Пример 2. Решить неравенство (x2 - x)2 - 8(x2 - x) + 12 < 0.

Р е ш е н и е. Сделав замену переменной t = x2 - x, получаем t2 - 8t + 12 < 0 . Корни уравнения t2 - 8t + 12 = 0 есть t1 = 2, t2 = 6.
Отсюда t2 - 8t + 12 = (t - 2)(t - 6) < 0 ↔ 2 < t < 2. Поскольку t = x2 - x, то получаем


Решаем неравенство (а):
x2 - x > 2 ↔ x2 - x - 2 > 0 ↔ (x + 1)(x - 2) > 0 ↔
Решаем неравенство (б):
x2 - x < 6 ↔ x2 - x - 6 < 0 ↔ (x + 2)(x - 3) < 0 ↔ -2 < x < 3.
Отсюда (x2 - x)2 - 8(x2 - x) + 12 < 0 ↔ .
Изобразим полученные множества с помощью двух координатных прямых. Из рисунка видим, что решением исходного неравенства является объединение множеств (-2;-1), (2;3).


Ответ: x принадлежит (-2;-1)U(2;3) .