Для характеристики функций совершенно не существенно, какой буквой обозначается сама функция и её аргумент; так, если мы имеем y = x2 и u = v2, то у есть такая же функция от х, как u от v ; иначе говоря, х и у – это одна и та же функция, хотя её аргумент её обозначен неодинаково.
Если в данной функциональной зависимости аргумент и функцию поменять ролями, мы получаем новую функцию, называемую обратимой.
Например, рассмотрим показательную и логарифмическую функции. Показательная функция- это функция вида у = ах. Переменная х стоит в показатели степени и принимает любые значения.
Логарифмической функцией называют функцию вида: у = logaх. Переменная х принимает только положительные значения и
неравна 0.
Стоит вспомнить определение логарифма. Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от нуля основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Итак, выразим х из показательной функции х : х = logау.
Сравним полученное выражение с логарифмической функцией: х = logау и у = logaх. Прекрасно видно, что аргумент и само функция легко поменялись местами. Следовательно, логарифмическая функция обратна показательной.
• Решить уравнение следующего вида:
log12(x1/2 + x1/4) = 1/2 log9х
Выразим х через у:
у= 1/2 log9х, следовательно 2у = log9х, значит х = 92у
Получаем, что:
log12(9у + 3у) = у
Потенцируем данное уравнение и разделим полученное выражение на 12у:
9у + 3у = 12у;
(3/4)y + (1/4)y = 1
Таким образом, получили легко решаемое степенное уравнение.
У = 1, т.к по теореме данное уравнение имеет не более одного корня.
Теорема. Если левая часть уравнения представляет собой сумму двух возрастающих функций и, следовательно, сама является возрастающей, принимает каждое своё значение ровно один раз.
Теперь зная значение у, найдём значение переменной х.
x = 92*1
х = 81
Ответ: х = 81.
• Теперь стоит рассмотреть принцип решения подобным способом неравенств.
log5(1+x1/2) > log16х
Выразим значение х через у.
y = log16х, следовательно х = 16у
Получаем:
log5(1 + 4у) > у
Потенцируем и разделим полученное выражение на 5у :
1 + 4у > 5у
(1/5)yy> 1
Таким образом, получили, что у < 1
Подставим значение у вместо log5(1 + x1/2) и получим:
log16х < 1
Полученное неравенство имеет простое решение.
x < 16
x > 0
Ответ: х (0;16)