Решение рациональных неравенств
Рациональные неравенства —
неравенства вида Рn(х) > 0 (Рn(х) < 0, Pn(х)
0, Pn(х)
0),
> 0
(
< 0,
0,
0),
где Рn(х), Qm(х) — многочлены соответственно степеней n и m,
т. е.
Рn(х) = a0xn + a1xn-1+ a2xn-2 + ... + an-1x + an,
Qm(х) = b0xm + b1xm-1+ b2xm-2 + ... + bm-1x + bm.
Решение рациональных неравенств методом интервалов
В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х - а):
точка х = α делит числовую ось на две части — справа от точки α двучлен (х-α)>0,
а слева от точки α (х-α)<0.
Пусть требуется решить неравенство (x-α1)(x-α2)...(x-αn)>0,
где α1, α2...αn-1, αn —
фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α1 < α2 <...< αn-1 < αn .
Для решения неравенства (x-α1)(x-α2)...(x-αn)>0 методом интервалов
поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α1, α2...αn-1, αn;
в промежутке справа от наибольшего из них, т. е. числа αn,
ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т. д.
Тогда множество всех решений неравенства (x-α1)(x-α2)...(x-αn)>0
будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства
(x-α1)(x-α2)...(x-αn)<0 будет объединение всех промежутков,
в которых поставлен знак «минус».
Пример 1. Решить неравенство (x - 1)(x - 3) > 0.
Р е ш е н и е. Многочлен f(x) = (x - 1)(x - 3)
обращается в нуль в точках х = 1, х = 3.
Эти точки разбивают координатную прямую на промежутки
(-
;1),
(1;3); (3;+
),
внутри каждого из которых функция f(x) сохраняет знак. Так как в промежутке
(3;+
) сомножители
(х — 1), (х — 3) положительны, то и их
произведение положительно, т. е. f(x) > 0. Отметим промежуток
(3;+
)
знаком «+». Далее знаки в промежутках чередуются.
Проводим через отмеченные точки «кривую знаков». Иллюстрацию с помощью «кривой знаков»
понимаем так: на тех промежутках, где «кривая знаков» проходит выше координатной прямой
(где ставится знак «+»), выполняется неравенство f(x) > 0;
на тех промежутках, где кривая проходит ниже прямой (где знак «-»),
выполняется неравенство f(x) < 0.
В результате получаем,
что решение исходного неравенства есть объединение промежутков:
(-
;1),
(3;+
).
Это множество на рисунке заштриховано.
Ответ: x
(-
;1)
(3;+
).
Решение рациональных неравенств методом замены переменной
Пример 2. Решить неравенство
(x2 - x)2 - 8(x2 - x) + 12 < 0.
Р е ш е н и е. Сделав замену переменной
t = x2 - x, получаем t2 - 8t + 12 < 0
. Корни уравнения t2 - 8t + 12 = 0
есть t1 = 2, t2 = 6.
Отсюда t2 - 8t + 12 = (t - 2)(t - 6) < 0 ↔ 2 < t < 2.
Поскольку t = x2 - x, то получаем

Решаем неравенство (а):
x2 - x > 2 ↔
x2 - x - 2 > 0 ↔ (x + 1)(x - 2) > 0 ↔

Решаем неравенство (б):
x2 - x < 6 ↔
x2 - x - 6 < 0 ↔ (x + 2)(x - 3) < 0 ↔ -2 < x < 3.
Отсюда (x2 - x)2 - 8(x2 - x) + 12 < 0
↔
↔
.
Изобразим полученные множества с помощью двух координатных прямых.
Из рисунка видим, что решением исходного неравенства является объединение множеств
(-2;-1), (2;3).
Ответ: x
(-2;-1)
(2;3)
.