Примеры решения
логарифмических уравнений.
Функционально-графический метод.
Решить уравнение:
log5x=0
Решение:
График функции у=log5x схематичски изображён на рисунке. Заданные уравнения
нетрудно решить, используя эту геометрическую модель.
Уравнение log5x= 0имеет один корень х = 1, поскольку график функции
у=log5x пересекает ось Х в единственной точке (1; 0)
Ответ:  х=1.
Метод потенцирования.
Решить уравнение:
log3(x²-3x-5)= log3(7-2x)
Решение:
1)Потенцируя (т.е. освободившись от знаков логарифмов), получаем
x²-3x-5=7-2x
x² - x - 12 =0
x=4
x′=-3.
2) Проверим найденные корни по условиям
x²-3x-5>0
7-2x>0
Значение х=4 не удовлетворяет этой системе неравенств, т. е. х=4 - посторонний корень для
заданного уравнения. Значение х=-3 удовлетворяет обоим неравенствам системы, а поэтому
х=-3- корень заданного уравнения.
Ответ:  х=-3.
Метод введения новой переменной.
Решить уравнение:
lg²x+lgх+1= 7/ lg х/10
Решение:
Так как lg х/10= lg х - lg 10=lg х - 1, то заданное уравнение можно переписать в виде lg²x+lgх+1=7/lgx-1.
Есть смысл ввести новую переменную у=lg x; тогда уравнение примет вид у²+y+1=7/y-1
Далее находим:
(y-1)(у²+y+1)=7
у²+y+1-1=7
у²+y+1=8
y=2.
Это значение удовлетворяет условию у не равен 1, так как при у=1 знаменатель обращается в 0.
Итак, у=2. Но у =lg х, значит, нам осталось решить простейшее логарифмическое уравнение
lg х=2, откуда находим х = 100.
Ответ:  х=100.
Метод логарифмирования.
Решить уравнение:
х1-log5x=0,04
Решение:
Возьмем от обеих частей уравнения логарифмы по основанию 5; это - равносильное преобразование
уравнения, поскольку обе его части принимают только положительные значения. Получим
log5x1-log5x=log50,04.
Учтем, что log5хr=r log5х и что log50,04=
log5(1/25)= log55-2=-2.
Это позволит переписать заданное уравнение в виде ( 1-log5х)* log5х=-2. Замечаем, что
"проявилась" новая переменная у= log5х, относительно которой уравнение принимает весьма простой вид:
(1-у ) у=-2.
у² -у -2 =0
y=2
y′ = -1.
Но у= log5х, значит, нам осталось решить два уравнения:
log5х=2
log5х--1
Из первого уравнения находим х= 25; из второго х=1/5.
Ответ:  х=100.
Метод подбора.
Решить уравнение:
lg х = 11-х
Решение:
Достаточно очевидно, что х=10 - корень уравнения.
В самом деле lg10 =1 и 11-10=1, т. е. при х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равнство 1=1. Так как
функция у=lgх возрастает, а функция у = 11-х убывает, то заданное уравнение имеет один корень, который уже найден путем подбора.
Ответ:  х=10.