Примеры решения
логарифмических уравнений.


Функционально-графический метод.


Решить уравнение:

log5x=0


Решение:

График функции у=log5x схематичски изображён на рисунке. Заданные уравнения нетрудно решить, используя эту геометрическую модель.
Уравнение log5x= 0имеет один корень х = 1, поскольку график функции у=log5x пересекает ось Х в единственной точке (1; 0)
Ответ:  х=1.












Метод потенцирования.

Решить уравнение:

log3(x²-3x-5)= log3(7-2x)


Решение:

1)Потенцируя (т.е. освободившись от знаков логарифмов), получаем

x²-3x-5=7-2x
x² - x - 12 =0
x=4
x′=-3.

2) Проверим найденные корни по условиям

x²-3x-5>0
7-2x>0

Значение х=4 не удовлетворяет этой системе неравенств, т. е. х=4 - посторонний корень для заданного уравнения. Значение х=-3 удовлетворяет обоим неравенствам системы, а поэтому х=-3- корень заданного уравнения.
Ответ:  х=-3.





Метод введения новой переменной.

Решить уравнение:

lg²x+lgх+1= 7/ lg х/10


Решение:

Так как lg х/10= lg х - lg 10=lg х - 1, то заданное уравнение можно переписать в виде lg²x+lgх+1=7/lgx-1.
Есть смысл ввести новую переменную у=lg x; тогда уравнение примет вид

у²+y+1=7/y-1

Далее находим:

(y-1)(у²+y+1)=7
у²+y+1-1=7
у²+y+1=8
y=2.

Это значение удовлетворяет условию у не равен 1, так как при у=1 знаменатель обращается в 0.
Итак, у=2. Но у =lg х, значит, нам осталось решить простейшее логарифмическое уравнение lg х=2, откуда находим х = 100.
Ответ:  х=100.





Метод логарифмирования.

Решить уравнение:

х1-log5x=0,04


Решение:

Возьмем от обеих частей уравнения логарифмы по основанию 5; это - равносильное преобразование уравнения, поскольку обе его части принимают только положительные значения. Получим

log5x1-log5x=log50,04.

Учтем, что log5хr=r log5х и что log50,04= log5(1/25)= log55-2=-2.
Это позволит переписать заданное уравнение в виде ( 1-log5х)* log5х=-2. Замечаем, что "проявилась" новая переменная у= log5х, относительно которой уравнение принимает весьма простой вид:

(1-у ) у=-2.
у² -у -2 =0
y=2
y′ = -1.

Но у= log5х, значит, нам осталось решить два уравнения:

log5х=2
log5х--1

Из первого уравнения находим х= 25; из второго х=1/5.
Ответ:  х=100.





Метод подбора.

Решить уравнение:

lg х = 11-х


Решение:

Достаточно очевидно, что х=10 - корень уравнения. В самом деле lg10 =1 и 11-10=1, т. е. при х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равнство 1=1. Так как функция у=lgх возрастает, а функция у = 11-х убывает, то заданное уравнение имеет один корень, который уже найден путем подбора.
Ответ:  х=10.