Среди иррациональных уравнений и неравенств встречаются такие, которые не решаются с помощью стандартных приёмов. В подобных случаях иногда может оказаться полезным анализ области определения, а также использование таких их свойств, как монотонность, периодичность, обратимость, дифференцируемость чётность. В ряде случаев такой анализ позволяет найти решение иррационального уравнения не производя утомительных выкладок.
Итак, применим свойство монотонности функции к решению уравнения.
• Например, необходимо решить уравнение следующего вида:
(3 +x)1/2 = 3 - x
В правой части этого уравнения стоит монотонно возрастающая степенная функция, а в левой части монотонно убывающая линейная. Воспользуемся теоремой о количестве корней. Если функция, стоящая в левой части уравнения монотонно возрастает, а функция, стоящая в правой части, убывает, то уравнение имеет только один корень. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня, значение которого легко подбирается: х = 1.
• Решить уравнение.
(2x-1)1/3 + (x - 1)1/3 = 1
Сразу можно заметить, что значение х = 1 является корнем данного уравнения, левая часть которого представляет собой сумму двух возрастающих степенных функций, следовательно, сама является возрастающей функцией, а правая прямая у = 1. Здесь применима следующая теорема: если функция представляет собой сумму 2-ух возрастающих функций, то сама является возрастающей функцией и по этому принимает каждое своё значение только один раз. Поэтому других корней данное уравнение не имеет.
Рассмотрим ещё несколько уравнений, решение которых опирается на свойства монотонности и нечётности.
• Дано уравнение следующего вида:
(2х + 1)(7+ (2x + 1)2)1/2 + х(x2) + 7)1/2 = 0
Введём и рассмотрим функцию
f(y) = y(y2 + 7)1/2
Тогда исходное уравнение можно представить в виде
f(2х + 1) + f(х) = 0
Функция f(y) является нечётной, поэтому можно переписать это уравнение
F(2х+1)= -f(х) = f(-х)
Стоит заметить, что функция f(y) монотонно возрастает на всей области определения (это определяет положительный результат производной данной функции). Теперь необходимо воспользоваться следующей теоремой:
если f(y)- монотонная функция, определённая на всей числовой прямой, то уравнения f (х) = f(y) и х = у равносильны.
Следовательно, из предыдущего уравнения следует 2х + 1 = -х откуда находим корень исходного уравнения,
х = -1/3
• Решить уравнение:
(1 + (x) Перенесём единицу в левую часть и получим: 1 + (1 + (x) f(x) = 1 + (x)1/2
С её помощью полученное уравнение можно переписать в следующем виде:
f(f(x)) = x
Для решения таких уравнений применима одна известная теорема. • Теперь рассмотрим уравнения, решить, которые можно задействовав область определения функции и множество значений. (5 - x)1/2 -(7 - x)1/2 + (2x - 25)1/2 =2
Обсудим условия, при которых выражения, входящие в левую часть данного уравнения, имеют смысл.
5 - х ≥ 0
7 - х ≥ 0
2х - 15 ≥ 0
Эта система содержит противоречивые неравенства, следовательно, решений не имеет. Поэтому и исходное уравнение решений тоже не имеет. Ответ:
• Решить уравнение:
(x3+3x2-16 + 21/2 - 1)1/2 = -1 - 2x2
Проверим неотрицательность множества значений правой части
-1 - 2х2 ≥ 0
Это неравенство не имеет решения. Тогда исходное уравнение не имеет решений, так как левая часть его неотрицательная функция.
• Решить уравнение
(x2 + 4)1/2 + (x2 + 1)1/2 = 3 - 5x2
Оба радикала, стоящие в левой части уравнения, существуют при любых значениях переменной х, а правая часть неотрицательна при х [ (-3/5)1/2; (3/5)1/2].Можно заметить ,что (x2 + 4)1/2 + (x2 + 1)1/2 ≥ 41/2 + 11/2 = 3, в то время как 3 - 5x2 ≤ 3. Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части одновременно равняются 3 .Отсюда находим единственное решение исходного уравнения подбором х = 0.
• Рассмотрим неравенство следующего вида:
(1/x2 + x)1/2 +(x - 1/x2)1/2 > 2х
ОДЗ х ≥ 1.Возведём обе части неравенства в квадрат :
1/x2 + x - 1/x2 + x + 2((1/x2 + x)(x - 1/x2))1/2 > 4х
Преобразуем полученное выражение к виду :
((1/x2 + x)(x - 1/x2))1/2 > 2х2 - х
Применим метод оценок. Очевидно, что (x2 - 1/x4)1/2 < х при х>0, а 2х2 - х ≥ х при х ≥ 0. Таким образом, исходное неравенство не имеет решений, так как на всей области допустимых значений выполнено неравенство (x2 - 1/x4)1/2 < 2х2 - х.
Если f(х)- монотонно возрастающая функция, то f(x) = x и f(f(x)) = x равносильны.
Введённая функция f(x) = 1 + (x)
Таким образом, решив уравнение 1 + x1/2 = х, определяются корни исходного уравнения.
Ответ: х =(3 + 51/2)1/2/2 .
Например: