ax² +bх+с=0
где a, b, c, - заданные числа или буквенные выражения, содержащие известные величины ( причем коэффициент а не может быть равен 0, иначе уравнение будет не квадратным, а уравнением первой степени).
Например:
3 x²+8x -5=0 -полное неприведенное квадратное уравнение;
3 x²-5=0-неполное неприведенное квадратное уравнение;
x²-ах =0 - неполное приведенное квадратное уравнение;
x²-12х+7=0 - полное приведенное квадратное уравнение;
Полные квадратные уравнения
1) Корни уравнения ax²+bx +c=0 находят по формуле :х = -b±√b²-4ас  /2а.
Выражение D=b²-4ас называют дискриминантом квадратного уравнения ax²+bx +c=0 . В связи с этим может предоставиться 3 случая:
D>0 ;      тогда два корня уравнения
действительны и различны между собой.
D=0;   тогда два корня уравнения
действительны и равны между собой
(оба равны -b/2а ).
D<0;    тогда уравнение не имеет
действительных корней.
х = -k±√k²-ас  /а, где k=b/2.
Эта формула удобна в тех случаях, когда b/2 - целое число, т.е. коэффициент b - чётное число.
Полные приведенные квадратные уравнения.
Теорема Виета
Сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна
второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком,
а произведение корней равно свободному члену.
х1²+х2²=p²-2g
х1³+х2³=-p(p²- 3g)
Справедлива и теорема, обратная теореме Виета:
Если числа х1 и x2 таковы,
что х1 +x2=-р,
х1 x2=g, то
х1 и x2 - корни уравнения x²+bx +c=0 .
(х+у)² = х² +2ху+у²
(х-у)² = х² - 2ху+у²
Неполные квадратные уравнения.
аx²+bx =0,
x² +c=0.
х(ах+b)=0.
х=0
х1=-b/a.
х=√c/a.
Возможнытри случая:
а) если c/a = 0, то х =0.
б) если c/a - положительное число,
то его квадратный корень может
иметь два значения:
одно
положительное, другое отрицательное.
Абсолютные значения этих величин одинаковы.
(x²=9, х=±3)
в) если c/a - отрицательное число,
то уравнение не может иметь никакого
положительного и никакого
отрицательного
корня: ведь и положительное, и отрицательное число
при возведении в квадрат
даёт
положительное число.