Решение логарифмических неравенств

Логарифмическими называются неравенства, которые содержат переменную под знаком логарифма или в его основании.

При решении логарифмических неравенств нахождение области определения исходного неравенства не является обязательным, а часто даже нецелесообразным, поскольку условия, задающие область определения неравенства, обычно подключают к тому неравенству, которое является следствием заданного логарифмического неравенства.


    ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

  1. Неравенства, решаемые с использованием определения логарифма


    Неравенства вида logaf(x) > b решаются следующим образом:
    logaf(x) > b ↔
    Аналогично решаются неравенства вида logaf(x) < b:
    logaf(x) < b ↔
  2. Неравенства, решаемые с использованием свойств логарифмов


    Решение неравенств вида logaf(x) > logag(x) основано на том, что функция у = logax (а > 0, а неравно 1, х > 0) является убывающей при 0 < а < 1 и возрастающей при а > 1.
    Таким образом, справедливы следующие утверждения:
    1. logaf(x) > logag(x) ↔

    2. logaf(x) > logag(x) ↔

    В неравенствах а и б можно использовать как первую (более полную) систему неравенств, так и вторую (укороченную) систему неравенств, ей равносильную. Достоинством более полной системы неравенств является ее наглядность и очевидность, а достоинством укороченной — меньшая трудоёмкость, т. к. приходится решать на одно неравенство меньше.

  3. Логарифмические неравенства, решаемые с использованием замены переменной


    Пример 1. Решить неравенство log23x - 2log3x - 3 < 0.

    Р е ш е н и е. Обозначив log3x = t, приходим к неравенству
    t2 - 2t - 3 < 0 ↔ -1 < log3x < 3 ↔ log3x-1 < log3x < log3x3 ↔ 1/3 < x < 27.

    Ответ: x принадлежит (1/3;27).


Решение показательно-логарифмических неравенств

Показательно-логарифмическими неравенствами называются неравенства вида (U(x))V(x) > а, где V(x) содержит логарифмические функции (знак неравенства может быть < , больше или равно , меньше или равно ).

При решении подобных неравенств целесообразно взять логарифмы от обеих частей исходного неравенства, убедившись предварительно, что эти логарифмы существуют. Знак полученного логарифмического неравенства останется таким же, каким он был до логарифмирования, если логарифмирование производится по основанию а > 1, и изменится на противоположный, если логарифмирование производится по основанию 0 < а < 1.


Решение неравенств, содержащих переменную под знаком логарифма и в основании логарифма

В общем виде решение подобных неравенств можно записать следующим образом:

logφf(x) > A ↔

logφf(x) > logφg(x) ↔

На практике обычно рассматривают два случая (когда от нование логарифма φ(х) > 1 и 0 < φ(х) < 1) и не всегда пользуются приведенными выше эквивалентностями.