Понятие логарифма
- Определение
- Обозначение
- Свойства
Определение
Логарифмом числа b по основанию а (где a > 0, a
1) называется показатель степени, в которую надо возвести а,
чтобы получить число b.Логарифм числа b по основанию а обозначается символом loga b.
Если а > 0, а
1, то loga b по определению есть показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b. Поэтому равенство aloga b есть тождество, которое называют основным логарифмическим тождеством.
Обозначение
Для обозначения десятичных логарифмов (логарифмов по основанию 10) принята специальная запись: вместо Iog10 b, где b — произвольное положительное число, пишут lg b.
Логарифм по основанию е (е = 2,712828...) называется натуральным логарифмом и обозначается ln b.
Свойства
- Логарифмы существуют только для положительных чисел, т.е. loga N (где а > 0 и а
1) существует, если N > 0.
- При основании а > 1 логарифмы чисел N > 1 положительны, а логарифмы чисел 0 < N < 1 отрицательны.
- При основании 0 < а < 1 логарифмы чисел N > 1 отрицательны, а логарифмы чисел 0 < N < 1 положительны.
- Логарифм единицы по любому основанию (а > 0 и а
1) равен нулю, т.е. loga 1 = 0.
- Логарифм самого основания равен 1, т.е. loga a = 1.
- Логарифм единицы делённой на основание равен -1, т.е. loga (1/a) = -1.
- Логарифм самого основания, возведённого в степень равен показателю степени, т.е. loga a r= r .
- Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: loga bc = loga b + loga c .
- Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя: loga b/c = loga b - loga c .
- Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени: loga a r= r loga b .
- Переход к новому основанию логарифма: если а, b, с — положительные числа, причем а и с отличны от 1,
то имеет место равенство loga b = logc b/ logc a .
- Если а и b положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство loga b = 1/logb a.
- Если а и b — положительные числа, причем а
1, то для любого числа r неравного 0 справедливо равенство loga b = logar b r .