Уравнения в геометрии.

    Геометрия (от греч. "гео" — земля и "метрос"— мерю) — часть математики, представляющая науку о пространственных отношениях и формах тел, а также о других отношениях и формах действительности, сходных с пространственными по своей структуре.
    Как и в частичке своей главы- математике, в ней существуют свои геометрические уравнения- уравнения геометрических тел, которые или не трребуют решения совсем, или решаются арифметическими методами.
    Вот одни из наиболее ярких геометрических уравнений.









  УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ.

      Уравнение окружности - одно из уравнений фигуры на плоскости - такое уравнение с двумя переменными x и y, что координаты ( в декартовой системе координат) любой точки фигуры являются решением этого уравнения. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры.




Окружность с центором Ао ( а;b) и радиусом R задается уравнением:

( x-a)2 + (y-b)2 =R2

Если центором окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид

x2+y2=R2




   УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

Любая прямая в декартовых координатах на плоскости задается уравнением

ax + by + c =0

Коэффициенты а и b в этом уравнении могут принимать различные значения. В зависимости от этого прямая будет по разному располагаться на плоскости. Рассмотрим некотоые частные случаи.

a=0,b не равно 0. В этом случае уравнение прямой можно записать так: y=-с/b. Все точки имеют одну и ту же координату ( -c/b), следовательно, прямая параллельна оси х. В частности, если с = 0, то прямая совпадает с осью х.

b=0, a не равно 0. В этом случае уравнение принимает вид х=-с/а. Прямая параллельна оси у или совпадает с ней, если с=0.

с=0. Уравнение принимает вид ax + by =0 коэффициент b не равен 0, то можно записать у=-а/b -c/b. Обозначив -a/b=k, -c/b=q, получим у=kx+q. Коэффициент k в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой.

Угловой коэффициент прямой имеет следующий геометрический смысл:

коэффициет k уравнении прямой
с точностью до знака равен
тангенсу острого угла, который
образует прямая с осью х.





   УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

Уравнение фигуры в пространстве определяется так же, как и плоскости. Пусть А0 (x0;y0;z0) - точка плоскости а и n ( а;b;c;)- вектор, перпендикулярный этой плоскости. Пуста А ( х; у ;z;) -произвольная точка плоскости а, т.е. АА0 перпендикулярно n, тогда АА0*n=0. Координаты точки А удовлетворяют уравнению

a(x-x1) + b (y-y1)+c (z -z1) = 0

Верно и то , что если точка А (х; у;z ) удовлетворяет уравнению a(x-x1) + b (y-y1)+c (z -z1) = 0, то точка А лежит в плоскости а.
Уравнение плоскости можно записать в виде

ax + by + cz + d =0

Коэффициенты a, b, c в этом уравнении являются координатами вектора, перпендикулярног этой плоскости.




   УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ .

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Пусть центр сферы находится в точке А (а;b;c) , а радиус сферы равен R Точками сферы являются те и только те точки пространства, расстояние от которых до точки А равно R. Квадрат расстояний от любой точки B (x;y;z) сферы до точки А равен

( х-а)2 + (y-b)2 + (z-c)2 =R2

Если центром сферы является начало координат, то уравнение сферы с радиусом R таково:

x2 +y2 +z2 =R2 .