ТРИГОНОМЕТРИЯ –
(от греч. trigwnon – треугольник и metrew
– измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости между
углами и сторонами треугольников и тригонометрические
функции. Термин «тригонометрия» ввел в употребление
в 1595 немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника
по тригонометрии и тригонометрических таблиц. К концу 16 в.
большинство тригонометрических функций было уже известно, хотя само это
понятие еще не существовало.
Как и многие разделы математики, тригонометрия возникла в древние времена
из потребностей людей при ведении расчетов, связанных с земельными
работами (для определения расстояния до недоступных предметов,
составления географических карт и пр.). Ещё древнегреческие
ученые создали «тригонометрию хорд», выражавшую зависимости
между центральными углами круга и хордами, на которые они опираются.
Этой тригонометрией пользовался во II в. до н.э. в своих расчетах
древнегреческий астроном Гиппарх. Во II в. н.э. греческий ученый Птоломей
в своей работе «Алмагест» («Великая книга») также вывел
соотношения в круге, которые по своей сути аналогичны современным
формулам синуса половинного и двойного углов, синуса суммы и разности
двух углов.
Долгие годы тригонометрия служила астрономии и развивалась благодаря ей.
В VIII в. усилиями математиков Ближнего и Среднего востока тригонометрия
выделилась из астрономии и стала самостоятельной математической
дисциплиной. К этому времени хорды в тригонометрии были заменены синусами
(отношениями половины хорды к радиусу круга), были введены понятия
косинуса и тангенса, а также составлены таблицы значений
тригонометрических функций.
Слово «синус» произошло от латинского sinus
(«перегиб»), которое, в свою очередь, происходит от арабского слова
«лжива» («тетива лука»). Слово «косинус»
– сокращение словосочетания complementi sinus («синус
дополнения»), объясняющего тот факт, что cosa равен синусу угла,
дополняющего угол a до П/2, т.е. cos x = sin(П/2-x). Латинское слово
tangens переводится как «касательная»
(«касательная к окружности»).
Идея введения тригонометрических понятий с помощью круга единичного
радиуса получила распространение в X-XI вв.
Первый научный труд, в котором тригонометрия утвердилась как
самостоятельная ветвь математики, был создан в 1462-1464 гг.
немецким астрономом и математиком И. Мюллером, известным в истории под
псевдонимом Региомонтан (1436-1476). После Региомонтана значительный
вклад в тригонометрию внес польский астроном и математик Н.Коперник
(1473-1543), посвятивший этой науке два раздела своего знаменитого
труда «Об обращении небесных тел» (1543). Позже в
сочинениях И.Кеплера (1571-1630), Й.Бюрги (1552-1632), Ф.Виета
(1540-1603) и других известных математиков встречаются сложные
преобразования тригонометрических выражений и выводятся многие формулы.
Тригонометрическая символика с годами совершенствовалась и лишь в
трудах Л.Эйлера в XVIII в. приобрела современный вид, удобный для
решения вычислительных задач.
Следует также отметить, что помимо «плоскостной»
тригонометрии, изучаемой в школе, существует сферическая
тригонометрия, являющаяся частью сферической геометрии. Сферическая
тригонометрия рассматривает соотношения между сторонами и углами
треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов сферы.
Исторически сферическая тригонометрия возникла из потребностей
астрономии, фактически раньше тригонометрии на плоскости.
|
|
Тригонометрические функции играют огромную роль в математике и ее
приложениях.
Исследованием тригонометрических функций практически занимались ещё
древнегреческие математики, изучая взаимное изменение величин в
геометрии и астрономии. Соотношения между сторонами в прямоугольных
треугольниках, по своей сути являющиеся тригонометрическими
функциями, рассматривались уже в III в. до н.э. в работах Евклида,
Архимеда, Аполлония и других ученых.
Учения о тригонометрических величинах получило развитие в VIII-XV вв.
в странах Среднего и Ближнего Востока. Так, в IX в. в Багдаде аль-
Хорезми составил первые таблицы синусов. Аль-Бузджани в X в.
сформулировал теорему синусов и с её помощью построил таблицу
синусов с интервалом 15’, в которой значения синусов приведены с
точностью до 8-го десятичного знака. Ахмад-аль-Беруни в XI в. вместо
деления радиуса на части при определении значений синуса и косинуса,
сделанного до него Птоломеем, начал использовать окружность
единичного радиуса. В первой половине XV в. аль-Каши создал
тригонометрические таблицы с шагом 1’, которые последующие 250 лет были
непревзойдёнными по точности. Самым крупным европейским представителем
той эпохи, внесшим вклад в развитие исследования тригонометрических
функций, считается Региомонтан.
В начале XVII в. в развитии тригонометрии наметилось новое
направление – аналитическое. Если до этого учения
о тригонометрических функциях строились на геометрической основе, то в
XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно вошла в состав математического
анализа и стала широко использоваться в механике и технике, особенно
при рассмотрении колебательных процессов и иных периодических явлений.
О свойствах периодичности тригонометрических функций знал ещё Ф. Виет.
Швейцарский математик И. Бернулли (1642-1727) в своих работах начал
применять символику тригонометрических функций. Однако близкую к
принятой теперь ввел Л. Эйлер в 1748 г. в своей работе
«Введение в анализ бесконечных». В ней он рассмотрел вопрос
о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента.
Тригонометрические функции Эйлер рассматривал как особые числа,
называя их общим термином трансцендентные количества, получающиеся
из круга.
В 19 в. дальнейшее развитие теории тригонометрических функций было
продолжено в работах русского математика Н.Л.Лобачевского (1792-1856),
а также в трудах других ученых, например в работах профессоров МГУ
Д.Е. Меньшова и Н.К. Бари.
Ещё древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для
решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали
простейшие тригонометрические уравнения типа: sin x = a, где 0 < x
< П/2 и |a| < 1.
Исторически учение о решении тригонометрических уравнений
формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также
черпало из алгебры общие методы их решения. Как мы видим, часть
тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к
простейшему виду, иногда – с предварительным разложением левой части
уравнения на множители, когда правая часть равна 0. В некоторых
случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что
тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное»
для решения алгебраическое уравнение.
К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических
уравнений, почти каждое из них (кроме простейших) требует особого
подхода.
|
|