Тогда из формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
Аналогично выводятся следующие формулы:
Формулы для тангенса и котангенса выводятся простой подстановкой вместо них
синуса и косинуса и привидением к общему знаменателю:
Пусть даны прямоугольный треугольник с катетами a, b и выражение a sin x + b cos x.
Одновременное умножение и деление на
даст
К концу X в. учёные исламского мира уже оперировали наряду с синусом и косинусом четырьмя другими функциями — тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом; открыли и доказали несколько важных теорем плоской и сферической тригонометрии; использовали окружность единичного радиуса (что позволило толковать тригонометрические функции в современном смысле); придумали полярный треугольник сферического треугольника. Арабские математики составили исключительно точные таблицы, например таблицы синусов и тангенсов с шагом в Г и точностью до 1/700000000. Интересно, что очень важной прикладной задачей была и такая: научиться определять направление на Мекку для пяти ежедневных молитв, где бы ни находился мусульманин.
Особенно большое влияние на развитие тригонометрии оказал «Трактат о полном четырёхстороннике» астронома Насирэддина ат-Туси (1201 — 1274). Это было первое в мире сочинение, в котором тригонометрия трактовалась как самостоятельная область математики.
Трактат ат-Туси произвёл большое впечатление на немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436—1476). Современники больше знали его под именем Региомонтана (так переводится на латинский название его родного города Кенигсберга, ныне -Калининграда). Труд Региомонтана «О треугольниках всех родов пять книг» сыграл в европейской математике ту же роль, что и сочинение ат-Туси в науке мусульманских стран. Дальнейшее развитие тригонометрии шло по пути накопления и систематизации формул, уточнения основных понятий, становления терминологии и обозначений. Многие европейские математики работали в области тригонометрии.
Франсуа Вист дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольники, открыл «плоскую» теорему косинусов и формулы для тригонометрических функций от кратных углов. Исаак Ньютон разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе. Леонард Эйлер ввёл и само понятие функции, и принятую в наши дни символику. Он также обнаружил связь между тригонометрическими функциями и экспонентой комплексного аргумента (см. статью «Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа»), что позволило превратить многочисленные и зачастую весьма замысловатые тригонометрические формулы в простые следствия из правил сложения и умножения комплексных чисел. К концу XVIII столетия тригонометрия как наука уже сложилась. Тригонометрические функции нашли применение в математическом анализе, физике, химии, технике — везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями — будь то акустика, оптика или качание маятника.