Trigonometry





Чтобы понять, как ученые древности составляли тригонометрические таблицы, познакомимся с методом Птолемея. Метод основан на теореме о том, что произведение диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон (см. статью «Многоугольники»). Рассмотрим вписанный четырёхугольник АВСО. Пусть АО — диаметр окружности, а точка О — её центр (рис. 1). Предположим, что мы умеем вычислять хорды, стягивающие утлы ООС = а и ВОВ = р, т. е. сторону СО и диагональ ВО. Тогда, по теореме Пифагора, из прямоугольных треугольников АОВ и АПС можно найти АВ ч АС, а потом, по теореме Птолемея, — ВС = (АС ВО-АВ СО)/АО, т. е. хорду, стягивающую угол ВОС = р - а. Некоторые хорды, например стороны квадрата, правильных шестиугольника и восьмиугольника, отвечающие углам 90,60, и 45°, легко определить; была также известна сторона правильного пятиугольника, которая стягивает дугу в 72°. Приведённое выше правило позволяет вычислять хорды для разностей этих углов, например для 12° = 72° - 60°. Кроме того, несложно научиться находить хорды половинных углов. Однако всего сказанного недостаточно, чтобы рассчитать, чему равна хорда дуги в 1°, — хотя бы потому, что все названные углы кратны 3°. Для хорды 1° Птолемей нашёл оценку, показав, что она больше 2/3 хорды (3/2)° и меньше 4/3 хорды (3/4)° — двух чисел, совпадающих с достаточной для его таблиц точностью.



Если греки по углам вычисляли хорды, то индийские астрономы в сочинениях IV—V вв. перешли к полухордам двойной дуги, т. е. в точности к линиям синуса (рис. 2). Они пользовались и линиями косинуса — точнее, не его самого, а «обращённого» синуса. Сейчас эта функция, равная 1 - соз а, уже не употребляется. Впоследствии тот же подход привёл к определению тригонометрических функций через отношения сторон прямоугольного треугольника.



Термины «синус» и «косинус» пришли к нам от индийцев. Правда, не обошлось без любопытного недоразумения. Полухорду индийцы называли «ардхаджива» (в переводе с санскрита -*половина тетивы лука»), а потом сократили это слово до «•лжива». Мусульманские астрономы и математики, получившие знания по тригонометрии от индийцев, восприняли его как «джиба», а затем оно превратилось в «джайб», что на арабском языке означает «выпуклость», «пазуха». Наконец, в XII в. «джайб» буквально перевели на латынь словом sinus, которое не имело никакого отношения к обозначаемому им понятию. Санскритское «котиджива» — синус остатка (до 90°), а на латинском — sinus соmplеmеnti, т. е. синус дополнения, в XVII в. сократилось до слова «косинус».