Квадратные уравнения

Теорема Виета

Обратная теореме Виета

При a=1, b=p и c=q получаем, что х12=–р, x1x2=q. Это утверждение сформулируем как следствие из теоремы Виета.

Следствие.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.
Теорема (обратная теореме Виета).
Если числа х1 и х2 таковы, что их сумма равна –b/a, а произведение c/a, то эти числа являются корнями уравнения ax2+bx+c=0.
Доказательство.

Пользуясь равенствами (х12=–b/a, х1х2=v7), выполним следующие преобразования левой части уравнения ax2+bx+c=0:
ax2+bx+c=a(x2+b/ax+v7)= a(x2–(х12)x+х1х2)=a(x2–x1x–x2x+x1x2)= a(x(x–x1)–x2(x–x1))=a(x–x1)(x–x2).

Очевидно, что уравнение a(x–x1)(x–x2)=0 имеет корни x1 и x2, следовательно, и уравнение ax2+bx+c=0 имеет те же корни. •

В частности, если х12=–р, х1х2=q, то числа х1 и x2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0.

Используя теорему, обратную теореме Виета, можно находить корни приведенного квадратного уравнения без использования формулы, только путем подбора. Рассмотрим это на примерах.

Пример 8

Если заданы корни квадратного уравнения, то можно составить и само уравнение, используя теорему, обратную теореме Виета.

Пример 9

Пример 10

<<НазадВперёд>>