Квадратные уравнения

Формула корней квадратного уравнения

Выводы

Итак, квадратное уравнение ax2+bx+c=0:

  1. имеет два различных действительных корня, если его дискриминант положителен (D>0);
  2. имеет два равных действительных корня, если его дискриминант равен нулю (D = 0);
  3. не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен (D<0).

Если дискриминант квадратного уравнения положителен, то его корни вычисляются по формуле:

x1,2=x1,2, где D=b2-4ac,(5)
x1,2=x12.(6)

Формула (5) читается: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из дискриминанта, а знаменатель этой дроби — удвоенный первый коэффициент.

Формула (6) читается: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из разности квадрата второго коэффициента и учетверенного произведения первого коэффициента и свободного члена; знаменатель дроби равен удвоенному первому коэффициенту.

Если D=0, то формулой корней тоже можно пользоваться:

x1,2=x12=x12=–b/2a

Итак, в данном случае x1=x2=–b/2a.

Чтобы решить квадратное уравнение, достаточно:

  1. вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;
  2. если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Пример 3

Условимся в дальнейшем при решении квадратных уравнений в ответе указывать множество корней уравнения в виде {x1; х2} или, если, например, корнями уравнения являются числа α и β, то ответ записывать: x1=α, x2=β.

Пример 4

Пример 5

Если в уравнении ах2+bх+с=0 дискриминант неотрицателен и второй коэффициент b - число вида 2k, где k∈ℜ, то формула корней принимает более удобный для вычисления вид.

Действительно,

x=дробь= дробь= дробь=
=дробь= дробь= дробь.

Так как k=b/2, то получим формулу:

x1,2=дробь

Итак: если второй коэффициент - действительное число вида 2k, то корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой - половина второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из квадрата этой половины, без произведения первого коэффициента и свободного члена; знаменатель дроби равен первому коэффициенту.

Пример 6

<<НазадВперёд>>