Квадратные уравнения

Формула корней квадратного уравнения

Отрицательный дискриминант

Теорема 3.
Если дискриминант D квадратного уравнения ax2+bx+c=0 отрицателен, то оно не имеет корней.
Доказательство.

Известно, что

ax2+bx+c=a((x+b/2a)–d/4a^2.

Поэтому уравнение ax2+bx+c=0 можно записать в виде:

a((x+b/2a)–d/4a^2)=0 (a≠0).(2)
Так как a≠0, то уравнение (2) равносильно уравнению
(x+b/2a)–d/4a^2=0.(3)

Уравнение (3) равносильно уравнению

(x+b/2a)=d/4a^2.(4)

Уравнение (4) при D<0 не имеет корней, так как квадрат действительного числа не может быть равным отрицательному числу. Следовательно, при D<0 уравнение ax2+bx+c=0 не имеет корней.

Следствие.
Если дискриминант квадратного трехчлена ax2+bx+c отрицателен, то этот трехчлен не разлагается на линейные множители.
Доказательство.

Предположим, что квадратный трехчлен ax2+bx+c имеет D<0, но существуют два действительных числа х1 и x2 таких, что справедливо тождество

ax2+bx+c=a(x–x1)(x–x2).
Но тогда квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет корни x1 и x2, что противоречит теореме 3.

Значит, при D<0 квадратный трехчлен ax2+bx+c не разлагается на линейные множители.

<<НазадВперёд>>