ПАРКЕТЫ

    Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее

 древнюю часть известной нам высшей математики.

                                                                                                                                Герман Вейль

 

         Кроме рассмотренных орнаментов существуют плоские орнаменты, заполняющие лист бумаги (плоскость) без промежутков. Такие орнаменты называются ПАРКЕТАМИ. Это такие же паркеты, как в наших квартирах, как орнаменты на линолеуме, как рисунки на обоях. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркетом здесь является квадрат. На этой решётке можно составить и другие пакеты (т.е. используя другие элементы паркета, паркеты можно называть решётками).  Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов. Некоторые из них изображены на рис. 1.

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

         Существуют такие паркеты, у которых несколько элементов образуют фигуру, подобную элементу паркета. Примеры таких паркетов приведены на рисунке 2.

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

На рис. 3 приведён элемент простого паркета, который разбит на рисунке справа на четыре одинаковые фигурки. А на рисунке 4 показаны элементы нового паркета, состоящие из четырёх таких фигурок.

 

     

 

Рис. 3

 

           

 

   

         Рис. 4

         Всего существует 17 видов симметрии сетчатых орнаментов. Они схематично показаны на рисунках 5, 6. Первые семь из них (6, а – ж) допускают создание интересных паркетов без прямолинейных контуров.

 

 

 

 

 

 

       Рис. 5. а                                  рис. 5. б                              Рис. 5. в                               рис. 5. г                                                                                       

 

 

 

             Рис. 5. д                                                     Рис. 5. ж                                                     рис. 5.е

                                                                                  

 

 

 

 

 

 

 

 

рис. 6

 

Простейшим видом паркета является такой, в котором плоскость заполнена фигурами с помощью параллельного переноса. Его общая схема приведена на рисунке 5,а.

          Паркет называется ПРАВИЛЬНЫМ, если его можно наложить на себя так, что любая заданная его вершина наложится на любую другую наперёд заданную вершину.

         Уже  пифагорейцам было известно, что имеются три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий, - треугольник, квадрат и шестиугольник.

 

               ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ЭТО ИНТЕРЕСНО.

        

В каждом из этих замощений любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек. Замощения плоскости многоугольниками, удовлетворяющими этому требованию, называются паркетами.

         Сколько же всего правильных паркетов?

         Легко видеть, что вообще  паркетов – не обязательно правильных – существует бесчисленное множество. Однако, подобно тому, как при бесчисленном множестве многогранников вообще существует лишь конечное число правильных паркетов:

         Паркеты с тремя многоугольниками  вершине. Здесь возможно три случая: а) 3 одинаковых многоугольника б) два одинаковых и один отличный в) три разных многоугольника;

         Паркеты с четырьмя многоугольниками в вершине;

         Паркеты с пятью многоугольниками  вершине;

         Паркеты с шестью многоугольниками  вершине.

         Таким образом, существует всего 11 правильных паркетов:

 

 

                                  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

назад – к орнаментам