Ещё пифагорейцы установили, что существует только три правильных паркета, так как вокруг одной точки могут лежать либо шесть правильных треугольников, либо четыре квадрата, либо три правильных шестиугольников. Докажем это утверждение. Для этого нам надо ответить на два вопроса:

1.    Чему равна сумма всех внутренних углов выпуклого многоугольника?

2.    Чему равна величина каждого угла правильного многоугольника?

         Рассмотрим произвольный выпуклый n-угольник. Соединим отрезками его внутреннюю точку О с каждой вершиной. При этом n-угольник будет разбит на n треугольников:

      

      

 

 

                                                    

   

 

Сумма углов каждого треугольника равна 180 градусов. Сумма углов n таких треугольников равна 180n градусов. Сумма углов с вершиной во внутренней точке О равна 360 градусов, сумма внутренних углов многоугольника равна  

180n-360 градусов, или 180(n-2) градуса.

     Так как все углы правильного n-угольника   равны, то величина каждого угла может быть найдена по формуле

     . Тогда получаем, что величина каждого угла правильного треугольника равна 30 градусов, правильного четырёхугольника – 90 градусов, правильного пятиугольника 108 градусов, правильного шестиугольника 120 градусов, правильного восьмиугольника 135 градусов и т.д.

      Так как 360 градусов нацело делится только на 60, 90 и 120 градусов, то вокруг одной точки паркета могут сходиться только три вида правильных многоугольников: треугольник, квадрат и шестиугольник.

 

НАЗАД