БОРДЮРЫ
«Симметрия…
есть идея, с помощью которой человек веками
пытался объяснить и создать порядок, красоту и
совершенство»
Линейные
орнаменты называются бордюрами.
БОРДЮР – это
периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте. Бордюры используются в
настенных росписях, в чугунном литье для оград, мостов, набережных. Рисунки в
виде бордюров наносятся на ткани, мебель, обои и т.д.
Любой
бордюр может быть совмещён сам с собой параллельным переносом. При рисовании
бордюров кроме параллельного переноса используется симметрия относительно
прямой, и центральная симметрия.
Всего
существует семь типов бордюров.
1.БОРДЮР
ПЕРВОГО ТИПА. Это самый
простой бордюра получатся при параллельном переносе произвольного рисунка на
один и тот же направленный отрезок (вектор). Схематично этот тип бордюра можно
представить так, как показано на рис. 1.
Рис. 1
Возьмём
простой элемент (рис. 2). Будем смещать его параллельным переносом на
направленный отрезок (вектор), который приведён здесь же. Смещать рисунок будем
так, чтобы начало приведённого отрезка совпало с его концом. В результате
получаем простейший бордюр, как на рисунке 3.
Бордюр, приведённый на рисунке 4, также относится к
первому типу бордюров.
рис. 4
Легко
видеть, что любая, параллельная краю бордюра (или направленному отрезку, на который
совершается параллельный перенос), переводится используемым параллельным
переносом себя.
2.БОРДЮР
ВТОРОГО ТИПА. Бордюр этого типа
схематично показан на рис. 5.
Прямая а на
этом рисунке является осью симметрии бордюра. Чтобы получить бордюр этого типа,
нужно взять произвольный рисунок, отразить его относительно прямой объединить с
данными, а затем полученный рисунок смещать параллельным переносом.
Проделаем это с элементом, который показан
на рис. 6. Здесь тонкой линией отмечена ось симметрии а, а параллельный перенос задан направленным отрезком. Отразим
элемент относительно прямой а. В
объединении полученного элемента с первоначальным получим уже более сложный
рисунок (рис. 7). Сместим его несколько раз параллельным переносом, получим
бордюр второго типа. (рис. 8)
Рис.
6
рис. 7
Рис. 8
Аналогично поступим с элементом,
представленным на рисунке 9. Отразим относительно оси симметрии, а затем
объединим с данными. В результате получим рис. 10.
Рис. 9
рис.10
Смещая
рис .10 параллельным переносом на указанный направленный отрезок, получим
бордюр второго типа (рис. 11).
рис. 11
3.БОРДЮР
ТРЕТЬЕГО ТИПА. Схема бордюров
третьего типа приведена на рис. 12.
Чтобы
получить бордюр этого типа, нужно начальный элемент отразить от прямой а, затем полученный рисунок сместить
параллельным переносом на направленный отрезок б. Объединение данного элемента и полученного смещаем параллельным
переносом на направленный отрезок с.
Рассмотрим получение бордюра из элемента,
показанного на рис. 13. Отразим его по прямой а и сместим полученный рисунок параллельным переносом на
направленный отрезок б. Получим новый
элемент бордюра (рис. 14).
Рис.
13
рис. 14
Смещая его параллельным переносом на направленный
отрезок с, получим бордюр третьего типа
(рис. 15).
рис. 15
Пусть начальный элемент бордюра представлен
на рисунке 16. Отразим его от прямой а
и сместим полученный элемент параллельным переносом на направленный отрезок б. Объединив оба рисунка, получим новый
рисунок (рис. 17). Смещая его параллельным переносом на направленный отрезок с, получим бордюр третьего типа (рис.
18).
Рис. 16 рис.
17
рис. 18
4.БОРДЮР
ЧЕТВЁРТОГО ТИПА. Этот тип
бордюра схематично показан на рис. 19. В преобразовании первоначального
элемента участвует осевая симметрия с осью а,
перпендикулярной краю бордюра. Объединив данный элемент с симметричным ему
относительно прямой а, смещаем
полученный рисунок параллельным переносом на направленный отрезок б. Если полученный рисунок отражать от
второй оси, то получим тот же результат.
Пусть первоначальный элемент бордюра
изображён на рис. 20. Отразим его от прямой а,
и объединим полученный рисунок с данным. В результате получим новый элемент.
(рис. 21).
Рис. 20
рис. 21
Смещая
получившийся рисунок параллельным переносом на направленный отрезок б, получим бордюр четвёртого типа (рис.
22).
Аналогичным способом получен бордюр, изображённый на
рисунке 23.
Любая
прямая, параллельная краю бордюра четвёртого типа, при отражении от отмеченных осей
симметрии переходит в себя.
5.БОРДЮР
ПЯТОГО ТИПА. Схема бордюра пятого типа показана на рис. 24.
Светлыми кружочками отмечены центры симметрии. Прямая, проходящая через эти
центры, переходит в себя при отражении от указанных центров.
Пусть дан элемент, изображённый на рисунке
25. Светлым кружком также отмечен центр симметрии. Отразим этот элемент от
указанного центра симметрии. Объединив рисунки, получим следующий элемент бордюра
(рис. 26). Смещая его параллельным переносом на направленный отрезок б, получим бордюр пятого типа (рис. 27).
Рис. 25
рис. 26
Рис. 27
Пусть теперь первоначальный элемент бордюра имеет вид,
изображённый на рисунке 28. Проделаем с ним соответствующие преобразования.
Промежуточный элемент будет выглядеть, как на рис. 29. Смещая его параллельным
переносом на направленный отрезок б,
получим бордюр, изображённый на рис. 30.
Рис. 28
рис. 29
рис. 30
6.БОРДЮР
ШЕСТОГО ТИПА. Схема
бордюра этого типа приведена на рисунке 31. Над первоначальным элементом
совершаются преобразования симметрии относительно точки и относительно прямой.
Начальный элемент бордюра изображён на рис.
32. После объединения его с центрально симметричным, получим новый элемент,
представленный на рисунке 33. Объедини, последний с симметричным относительно
прямой а, получим рис. 34.
Рис. 32
рис. 33 рис.
34
Смещая рис. 34 параллельным переносом на отрезок б, получим бордюр шестого типа (рис.
35).
Рис. 35
На
рисунках 37, 38 и 39 показаны этапы получения бордюра шестого типа из
начального элемента, изображенного на рисунке 36.
Рис. 36 рис. 37
рис. 38
Рис. 39
7.БОРДЮР СЕДЬМОГО ТИПА. Схема
бордюров этого типа показана на рисунке 40. Основной элемент бордюра, который
смещается итоге параллельным переносом,
получается из первоначального с помощью двух осевых симметрий со взаимно
перпендикулярными осями.
Рассмотрим
получение бордюра данного типа из простейшего элемента, приведённого на рис.
41. Для этого отразим данный элемент от оси а.
Затем объединение данного и полученного элементов (рис. 42) отразим от оси б. Получим элемент, показанный на
рисунке 43.
Смещая эту фигуру параллельным переносом на
направленный отрезок с, получим
бордюр седьмого типа (рис. 44).
На рисунках 46, 47, 48 показаны этапы
получения бордюра седьмого типа из начального элемента (рис. 45)