ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ

Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность.

Геометрия - одна из древнейших частей математики, изучающая пространственные отношения и формы тел. Слово "геометрия" греческое. В переводе на русский язык обозначает землемерие. Такое название связано с применением геометрии для измерении на местности.

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа луны и т.п. Однако человек не только пассивно наблюдал природу, но и практический осваивал и использовал ее богатства. В процессе практической деятельности он накапливал геометрические сведения. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудие труда, обтесывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук т.д.

Таким образом, практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлеченных понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений.

Начало геометрии было положено в древности при решении практических задач. Первые дошедшие до нас сведения о зарождении и успехах геометрии связаны с задачами землемерия, вычислениями объемов (Древний Египет, Вавилон, Древняя Греция).

Уже в то время, по-видимому, возникло абстрактное понятие геометрического тела (фигуры) как некоторого объекта, сохраняющего лишь пространственные свойства соответствующего физического тела, лишенного всех остальных свойств, не связанных с понятием расстояния, протяженности и т.п. Таким образом, геометрия с момента зарождения изучала некоторые (а именно - геометрические) свойства реального мира. Отмеченная связь геометрии и реального мира является существенной чертой геометрии на всем протяжении ее развития, при этом степень абстракции объекта изучения поднималась на все более высокий уровень.

Со временем, когда накопилось большое количество фактов, у людей появилась потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука.

Содержащиеся в дошедших до нас папирусах геометрические сведения и задачи (почти все) относятся к вычислению площадей и объемов. В них нет никаких указаний на способы вывода тех правил, которыми пользовались египтяне для вычисления длин, площадей и объемов, часто употреблялись правила приближенных подсчетов. Геометрия, как практическая наука, нужна была египтянам не только для восстановления земельных участком после каждого разлива Нила, но и при различных хозяйственных работах, при сооружении оросительных каналов, грандиозных храмов и пирамид, при высечении из гранита знаменитых сфинксов и т.п.

В математических сочинениях как Древнего Египта, так и Вавилова, Китая, Индии большое значение придавалось практической и прикладной геометрии. Нить практической геометрии тянулась до новых времен.

На первых стадиях своего развития геометрия стояла близко к искусству (живописи, архитектуре), отображающему действительность в художественных образах. Это видно, например, из употребления некоторых простых геометрических форм при плетении корзин из камыша, при изготовлении одежды, палаток и ковров первобытными народами. О связи геометрии с искусством свидетельствуют дошедшие до нас украшения на стенах и предметах домашнего обихода, возраст которых исчисляется в тысячелетиях. Сохранившаяся старинная посуда Древнего Египта, Кипра, Индии и других стран древности дает представление о развитии геометрических украшении от простейших фигур, состоящих из параллельных отрезков, до сложных комбинаций простых и кривых линий. Практика, в широком смысле слова, т.е. не только потребность в предметах быта и орудиях труда, но и искусство, живопись, архитектура подготовила путь геометрии как науки.

Наукой геометрия стала в Древней Греции в VП-IV вв. до н.э после того как в ней стали систематически применяться логические доказательства и были приведены в систему геометрические предложения, последовательно выводимые одно из другого путем умозаключений, в основе которых лежало несколько аксиом.

Примерно в VI-V вв.до н.э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития. Произведения, содержащие систематическое изложение геометрии, появились в Греции еще в V в. до н.э. Крупнейшим успехом в этом направлении явилось создание Евклидом знаменитых "Начал" (около III в. до н.э.). В них были Низложены (2200 лет назад) геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы. Известно, что Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс и др. Ценой больших усилий, исходя из отдельных геометрических сведений, накопленных тысячелетиями в практической деятельности людей, эти великие ученые сумели на протяжении 3-4 столетий привести геометрическую науку к высокой ступени совершенства. Историческая заслуга Евклида состоит в том, что он создавая свои "Начала", объединил результаты своих предшественников, упорядочил и привел в одну систему основные геометрические знания того времени. На протяжении двух тысячелетии геометрия изучалась в том объеме, порядке и стиле, как она была изложена в "Началах" Евклида. Первые шесть книг этого труда посвящены планиметрии, VII-Х - учению о числе, ХI-ХШ - стереометрии..

"Начала" Евклида были переведены на десятки языков, изданы и переизданы в разных странах много раз. На русском языке "Начала" были изданы три раза в XVIII в. и четыре раза в XIX в. Последний и самый совершенный перевод с греческого на русский был осуществлен ученым, профессором Д.Л. Мордухай - Болтовским и опубликован в 1948-1950 гг.

Многие учебники элементарной геометрии во всем мире представляли (а многие и поныне представляют) собой лишь переработку книг Евклида "Начала" на протяжении веков были настольной книгой величайших ученых.

В "Началах" впервые в истории человечества геометрия была описана с помощью аксиом - "истин, не требующих доказательства", и логически вытекающих из этих аксиом выводов - теорем.

В XVII в. Декарт благодаря методу координат сделал возможным изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры и в связи с этим в первой половине XVII в. в геометрической науке произошли дальнейшие качественные сдвиги. С этого времени начала развиваться аналитическая геометрия. В XVII-XVIII вв. зарождается и развивается дифференциальная геометрия, изучающая свойства фигур с помощью математического анализа.

К тому же времени (первая половина XVII в.) относится зарождение проективной геометрии, основы которой были созданы в трудах французских математиков Ж. Дезарга и Б.Паскаля. Дальнейшее развитие проективной геометрии связано с именами французских математиков Г.Монжа и Ш.Понселе.

Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой половине XIX в. великий русский математик Н.И. Лобачевский (1792-1856), который издал новую, неевклидову геометрию, называемую ныне геометрией Лобачевского.

Открытие Лобачевского было началом нового периода в развитии геометрии, ибо он изменил взгляд человечества на свойства реального физического пространства. За ним последовали новые открытия.

Важным шагом в развитии геометрии явились работы немецкою
математика Б. Римана (1826-1866), открывшие новые методы и объекты
изучения геометрии, получившие впоследствии название римановых
пространств. .

Значительное место в геометрии, начиная со второй половины XIX в занимает теория групп преобразований. Основой этой теории для непрерывных групп заложил норвежский математик С. Ли (2842-1899). В терминах этой науки немецкий математик Ф. Клейн (1849-1925) сформулировал новое толкование геометрии как науки, изучающей свойства, инвариантные относительно заданной группы преобразований.

Наиболее крупные достижения геометрии в XX в. связаны с именем французского математика Э. Картана ( 1869-1951). Им открыты и исследованы так называемые симметрические пространства, а также создан метод, позволяющий исследовать метод дифференциальных уравнений, описывающих геометрические объекты.

При описании развития геометрии невозможно обойтись без упоминания алгебраической геометрии, оформившейся в самостоятельную математическую дисциплину, а также тензорного анализа - мощного метода исследования многомерных римановых пространств.

В настоящее время геометрия тесно переплетается со многими другими разделами математики. Одним из источников развития и образования новых понятий в геометрии, как и в других областях математики, являются современные задачи естествознания, физики и техники.

 

Аналитическая геометрия

Аналитическая, или координатная, геометрия была создана независимо П.Ферма (1601–1665) и Р.Декартом для того, чтобы расширить возможности евклидовой геометрии в задачах на построение. Однако Ферма рассматривал свои работы лишь как переформулировку сочинения Аполлония. Подлинное открытие – осознание всей мощи алгебраических методов – принадлежит Декарту.

Евклидова геометрическая алгебра для каждого построения требовала изобретения своего оригинального метода и не могла предложить количественную информацию, необходимую науке. Декарт решил эту проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение – отрезок, имевший соответствующую длину.

Собственно аналитическая геометрия возникла, когда Декарт начал рассматривать неопределенные задачи на построение, решениями которых является не одна, а множество возможных длин.

Аналитическая геометрия использует алгебраические уравнения для представления и исследования кривых и поверхностей. Декарт считал приемлемой кривую, которую можно записать с помощью единственного алгебраического уравнения относительно х и у. Такой подход был важным шагом вперед, ибо он не только включил в число допустимых такие кривые, как конхоида и циссоида, но также существенно расширил область кривых. В результате в 17–18 вв. множество новых важных кривых, таких как циклоида и цепная линия, вошли в научный обиход.

По-видимому, первым математиком, который воспользовался уравнениями для доказательства свойств конических сечений, был Дж.Валлис. К 1865 он алгебраическим путем получил все результаты, представленные в V книге Начал Евклида.

Аналитическая геометрия полностью поменяла ролями геометрию и алгебру. Как заметил великий французский математик Лагранж, “пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем, их прогресс был медленным, а приложения ограниченными. Но когда эти науки объединили свои усилия, они позаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с тех пор быстрыми шагами направились к совершенству”.

Неевклидова геометрия

К 1800 математика покоилась на двух “китах” – на числовой системе и евклидовой геометрии. Так как многие свойства числовой системы доказывались геометрически, евклидова геометрия была наиболее надежной частью здания математики. Тем не менее аксиома о параллельных содержала утверждение о прямых, простирающихся в бесконечность, которое не могло быть подтверждено опытом. Даже версия этой аксиомы, принадлежащая самому Евклиду, вовсе не утверждает, что какие-то прямые не пересекутся. В ней скорее формулируется условие, при котором они пересекутся в некоторой конечной точке.

Столетиями математики пытались найти аксиоме о параллельных соответствующую подходящую замену. Но в каждом варианте непременно оказывался какой-нибудь пробел. Честь создания неевклидовой геометрии выпала Н.И.Лобачевскому (1792–1856) и Я. Бойяи (1802–1860), каждый из которых независимо опубликовал свое собственное оригинальное изложение неевклидовой геометрии. В их геометриях через данную точку можно было провести бесконечно много параллельных прямых.

В геометрии Б.Римана (1826–1866) через точку вне прямой нельзя провести ни одной параллельной.

О физических приложениях неевклидовой геометрии никто серьезно не помышлял. Создание А.Эйнштейном (1879–1955) общей теории относительности в 1915 пробудило научный мир к осознанию реальности неевклидовой геометрии.

Неевклидова геометрия стала наиболее впечатляющим интеллектуальным свершением 19 в. Она ясно продемонстрировала, что математику нельзя более рассматривать как свод непререкаемых истин. В лучшем случае математика может гарантировать достоверность доказательства на основе недостоверных аксиом. Но зато математики впредь обрели свободу исследовать любые идеи, которые могли показаться им привлекательными. Каждый математик в отдельности был теперь волен вводить свои собственные новые понятия и устанавливать аксиомы по своему усмотрению, следя лишь за тем, чтобы проистекающие из аксиом теоремы не противоречили друг другу. Грандиозное расширение круга математических исследований в конце прошлого века по существу явилось следствием этой новой свободы.