Вступление

Как уже было сказано на предыдущей странице, данная работа посвящена исследованию математических функций (а именно линейных и обратных функций) в физике (а именно на примере небезызвестного закона Ома). Исследовать мы будем следующим образом:

Вначале необходимо понять, что представляют собой функции в целом, и какие они бывают; что такое графики функций, и в чем заключается их смысл. Все вышеперечисленное будет происходить в этом самом разделе, то есть во введении.

После чего мы перейдем к более серьезной (исторической) части, где понаблюдаем за творческим путем замечательнейшего немецкого физика Георга Ома; узнаем, когда, где и с кем он жил и что при этом делал; посмотрим его немногочисленные фотографии; и познакомимся с открытиями этого выдающегося ученого.

Более подробно мы остановимся на самом знаменитом его открытии - законе Ома - в одноименном разделе. Там мы выясним, путем каких творческих мук был открыт закон; удивимся тому, что привычное "И равно У на ЭР" действует только для участка цепи, а чтобы узнать силу тока в замкнутой цепи, необходимо выучить громадную формулу про "Е и две буквы ЭР в разном регистре".

Изучение продолжится в прикладной части, где мы с удовольствием применим полученные из предыдущих частей знания на практике и решим все задачки. Затем мы закрепим результат просмотром небольших видеоклипов с опытами; и в конечном счете подведем итог проделанной работе в разделе "заключение".

До вывода еще не скоро, однако начнем мы им заниматься прямо сейчас, и начнем с того, что определим (разложим по полочкам) цели работы. Ставим цели:

  1. Обновить знания о функциях и их графиках в математике;
  2. Познакомиться с важной в области физики личностью - Георгом Омом;
  3. Углубить и закрепить знания о законе Ома из физики;
  4. Вспомнить о существовании графического метода решения задач (как физических, так и математических);
  5. Убедиться в том, что все в мире взаимосвязано на примере математики и физики.

Гипотеза:

Физика и математика связаны неразрывно;
Линейные и обратные зависимости из математики работают и в физике.

Объектами изучения являются физика и математика с их законами;
Предметом изучения являются линейные и обратные зависимости (на примере закона Ома для участка цепи).

Теперь у нас определены идеи и цели работы. Осталось расписать приборы и материалы.

Я работала с помощью множества источников информации (учебники, книги, интернет…); всевозможных программ; цифрового фотоаппарата, амперметра, вольтметра, проводников, источника тока и резистора (для опытов); а также с помощью руководителя проекта и напарника. (Подробнее обо всем этом можно почитать в разделе "автор проекта".)

Вам же для работы понадобится лишь немного времени и компьютер с более-менее современным веб-браузером.

Вот, в общем-то и все, что я хотела сказать. А сейчас приступим к работе. Желаю удачи!


В начало.




Функции:

Начиная работу о функциях, первым делом необходимо понять, что из себя представляет функция: что это такое, какие они бывают, от чего они зависят, зачем они нужны...

Довльно часто на уроках математики мы встречаемся с понятием функции, так что же это такое?

Формулировка

"Функцией называется зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной."

- определение функции, знакомое с 7 класса.

"Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y"

- такое определение мы узнаем в 9 классе.

"Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу число y, зависящее от D"

- наконец написано в учебнике за 10-11 класс.

Функцию принято обозначать как У = F(x), где у - зависимая переменная, или значение функции; х - независимая переменная, или аргумент.

Также говорят, что все значения х - область определения функции или D(f); а все значения у - область значений функции или E(f).



Как любая точная наука, математика не терпит беспорядка. Все и вся должно быть разложено по полочкам и связано логическими звеньями. Поэтому функции классифицировали в зависимости от их вида и дали каждому классу название...


Виды функций

  • Линейная функция (вида y = kx + b)
  • Обратная пропорциональность (вида y = k/x)
  • Квадратичная функция (вида у = аx² + вх + с)
  • Кубическая функция (вида у = x³)
  • Тригонометрическая функция (вида y = sin(x), y = cos(x), y = tg(x)...)
  • Логарифмическая функция (вида у = logах)
  • Показательная функция (вида у = ах)


    Глубоко и основательно мы рассмотрим линейные и обратные функции, так как их исследование является темой работы. Остальные функции разберем коротко, чтобы просто иметь представление о чем идет речь...

    Квадратичная функция
    - это функция, которую можно задать формулой вида у = аx² + вх + с,
    где х - независимая переменная, а, в и с - некоторые числа, причем а≠0.
    Функция определена на всей числовой прямой; четная.
    Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке (m;n), где m = -b/2a,
    и симметричная относительно прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку (m;n).
    Кубическая функция
    - это функция, которую можно задать формулой вида y = x³
    Функция определена на всей числовой прямой и ее значениями является множество всех рациональных чисел.
    Функция возрастает на всей области определения; нечетная.
    Графиком кубической функции является кубическая парабола (гипербола),
    лежащая в I и III четвертях координатной плоскости и симметричная относительно начала координат..
    Тригонометрические функции


    - это функции вида y = sin(x), y = cos(x), y = tg(x), y = ctg(x).
    Причем функции y = sin(x) и y = cos(x) определены на всей чисолвой прямой,
    y = tg(x) определена для всех действительных чисел, не равных π/2 + πk, где k принадлежит множеству целых чисел,
    а y = ctg(x) определена для всех действительных чисел, не равных π + πk, где k принадлежит множеству целых чисел.
    Графиками тригонометрических функций являются соответственно синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.






    Показательная функция


    - это функция, заданная формулой вида у = ах, где а>0, а≠1.
    Функция определени на всей числовой прямой и ее значения принадлежат множеству всех положительных чисел.
    Причем функция непрерывна в каждой точке числовой прямой: при а>1 она возрастает на всей числовой прямой, а при а<1 - убывает.
    Графиком показательной функции является показательная кривая (экспонента).


    Логарифмическая функция


    - это функция вида у = logах.
    Функция определена на всей числовой прямой и ее значениями является множество всех рациональных чисел.
    Функция непрерывна на всей области определения, возрастает при а>1 и убывает при 0<а<1.
    Графиком логарифмической функции является логарифмика.


    Линейные функции

    Определение:

    Линейная функция - это функция, которая задана формулой y = kx + b, где x - независимая переменная, а k и b - действительные числа.
    Число k называется угловым коэффициентом прямой, оно равно тангенсу угла между прямой и положительным лучом оси x, т. е k = tgα.
    При k и b отличных от нуля, функция имеет следующие свойства:

  • Функция определена и имеет значения на всей координатной прямой;
  • Функция ни четна, ни нечетна.
  • При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой.
  • Ее график - прямая, параллельная прямой, служащей графиком функции y = kx, и проходящая через точку (0; b) на оси ординат.

    График:

    Графиком линейной функции является прямая, наклоненная к оси абсцисс под углом α, тангенс которого равен k, и отсекающая на оси ординат отрезок b, а на оси абсцисс - отрезок - b/k.

    Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую.

    Взаимное расположение графиков:

    Графики линейных функций представляют собой прямые, которые либо параллельны, либо пересекаются. Расположение прямых зависит от углового коэффициента.
    Пусть даны две линейные функции: y = k1x + b1 и y = k2x + b2 .
    Если k1 отлично от k2, то прямые пересекаются, причем если b1 = b2, то прямые пересекаются в одной точке с координатами (0;b).

          


    Если k1= k2, то прямые параллельны, причем если b1 = b2, то прямые совпадают.

    Частные случаи линейной функции:

  • y = kx - прямая, проходящая через начало координат (прямая пропорциональность).
  • y = b - прямая параллельная оси ОХ (постоянная)
  • x = a - прямая параллельная оси ОУ

        

    Так как в дальнейшем речь пойдет в основном именно о прямой пропорциональности, разберем эту функцию более подробно:

    Прямая пропорциональность - это функция, заданная формулой y = kx , где k≠0.
    Число k называется коэффициентом пропорциональности.
    Область определения функции - множество всех действительных чисел; ее область значений - вся координатная прямая.
    Функция нечетная ( f(-x) = k(-x) = -kx = -f(x) );
    При k>0 возрастает на всей области определения и лежит в I и III четвертях, а при k>0 - убывает и лежит в II и IV четвертях координатной плоскости.
    Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.
    Для ее построения достаточно найти одну точку графика, отличную от начала координат, и провести прямую через начало координат и найденную точку.

          

    В начало.


    Обратные функции

    Определение:

    Обратная пропорциональность - это функция, заданная формулой y = k/x , где x - независимая переменная, и k - отлично от нуля.
    Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
    Говорят, что "Если величины x и y обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением y = k / x, где k есть некоторая постоянная величина."

    Перечислим свойства этой функции:

  • Область определения - множество всех действительных чисел, кроме нуля;
  • Область значений - также все действительные числа кроме нуля.
  • Функция нечетная;
  • При k>0 убывает на промежутке (-∞; 0) и (0; +∞), а при k<0 возрастает на тех же промежутках.

    График:

    График обратной пропорциональности называют гиперболой (кривая линия, состоящая из двух ветвей).
    При k>0 ветви гиперболы лежат в I и III координатных четвертях; при k<0 - во II и IV.

          

    В начало.


     

    Легко обозримым и наглядным инструментом исследования функции является ее графическая интерпретация - график.
    При этом объектом исследования является функция, а график функции позволяет по поведению геометрического объекта - линии или множества точек и линий - судить о свойствах исследуемого объекта.

    Графики функций

    Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

    В начало.


    Математичекский смысл

    Говоря о графике функции в математическом смысле мы главным образом акцентируем внимание на его построении. Для этого мы исследуем функцию по заученному на уроках алгебры алгоритму:

    1. Находим область определения и область значений функции;
    2. Выясняем, явлияется ли функция четной или нечетной, является ли периодической;
    3. Находим точки пересечения графика с осями координат;
    4. Промежутки знакопостоянства;
    5. Промежутки возрастания и убывания;
    6. Точки экстремума и значения функции в этих точках;
    7. Исследуем поведение функции в окрестностях этих точек;
    8. На основании исследования строим график функции.

    Такого исследования достаточно для того, чтобы довольно точно построить график зависимости y от x. Однако если подставить вместо x и y физические величины, то это совсем не значит, что график их зависимости будет идентичен графику зависимости y от x.


    Физический смысл

    Это происходит потому, что x - переменная, не имеющая никаких свойств и принимающая любые значения. Физические же величины помимо функционально заданной зависимости имеют свои собственные свойства.

    В качестве примера сравним графики двух идентичных функций из математики и физики:

    y = 2x и V = const*T (зависимость объема газа от его температуры при изобарном процессе).

    Исследуем функции y(x) и V(T):

    y = 2x
    V = const*T
    1. Область определения, область значений
    D(y)=(-∞;+∞)
    E(y)=(-∞;+∞)
    D(V)=(0;+∞)
    E(V)=(0;+∞)
    Это объясняется тем, что абсолютный нуль недостижим, и отрицательной температуры по кельвину быть не может.
    2. Четность/нечетность, периодичность
    не является ни четной ни нечетной, не периодична. не является ни четной ни нечетной, не периодична.
    3. Точки пересечения графика с осями координат
    с Ox: (0;0)
    с Oy: (0;0)
    нет, так как абсолютный нуль недостижим.
    4. Промежутки знакопостоянства
    D(y) D(V)
    5. Промежутки возрастания и убывания
    возрастает на D(y) возрастает на D(V)
    6. 7. Точки экстремума; исследование функции в окрестностях этих точек
    y'(x) = 2, а значит точек экстремума нет. V'(T) = const, а значит точек экстремума нет.
    8. График функции
    Прямая пропорциональность
    Прямая пропорциональность (изобара)

    Из исследования ясно видно, что физические функции имеют как математический так и физический смысл, и используя знания из математики при построении графиков физических функций не стоит забывать о том, что в физике существует много "но".

    В начало.