Решение олимпиадных задач | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Незнайка Шахматная доска Улитка Последовательность 1 Последовательность 2 Представления чисел 1 |
Незнайка хвастался умением умножать в уме. Чтобы его проверить Знайка предложил написать какое-нибудь число, перемножить его цифры и сказать результат. «2 310», - немедленно выпалил Незнайка, лишь успев записать число. «Не может быть», - ответил, подумав, Знайка. Как он обнаружил ошибку, не зная исходного числа? |
Решение. 2310 = 2*3* 5*7* 11. Увы, 11 - простое двухцифровое число. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Представление чисел 2 Расставление скобок Сумма нечётных чисел. Соревнования по плаванью. Сколько нулей? Возраст девочки. Землекопы и ямы. Расстановка солдат Номер телефона Мальчик и поросенок. |
Можно ли разрезать шахматную доску без противоположных угловых клеток на прямоугольники из двух клеток разных цветов. |
Решение: поскольку противоположные по диагонали угловые клетки шахматной доски всегда одного цвета, клеток одного цвета останется на две больше, чемдругого, поэтому разрезать всю доску на прямоугольники из двух разноцветных квадратиков невозможно. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Улитка
взбиралась на ветку длиной |
Решение.
В сутки
она поднимается на 1 +(100-40): 20 = 4 (дня). О т в е т: через 4 дня. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Какое число нужно поставить вместо «*» в последовательности 7; 17; 37; 77; *; 317; ...? |
Решение: каждое следующее число равно удвоенному предыдущему, сложенному с числом 3, поэтому вместо «*» следует поставить число 157. Ответ: 157. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Какое число нужно поставить вместо «*» в последовательности 17; 23; 13; 11; *; 15? |
Решение: каждое число, начиная со второго, равно сумме удвоенного числа десятков и утроенного числа единиц предыдущего числа. Вместо «*» нужно поставить число 5. Могут быть и другие способы образования подобной последовательности и тогда число, которое нужно поставить вместо «*», будет другим. О т в ет: 5. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Можно ли для представления первых пятнадцати чисел натурального ряда обойтись лишь одной цифрой 2, применяя ее только пять раз и используя арифметические действия? |
Ответ - можно:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Можно ли первых десять натуральных чисел представить цифрой 4, применяя ее только четыре раза и используя арифметические действия? | Ответ
- можно:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) наименьшее возможное число; б) наибольшее возможное число. |
Решение: а)(16+12)/(4+2*12)=1; б)(16+12:4 + 2)- 12 = 252. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти сумму всех нечётнных чисел от 1 до 199. |
Решение: 1+3 + 5+...+ 195+197+199 =(1 +199) + (3 + 197) + 99- 101 =200х50 = 10 000. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В
бассейне с горизонтальным дном площадью
|
Решение: 1 га= 10 000 м2; V=
Н=
1 000: 10
000 = Глубина бассейна 1 дм. Соревнования по плаванию проводить нельзя! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сколькими нулями оканчивается произведение пepвых ста натуральных чисел? |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По улице шла девочка. Встретив старичка, она поздоровалась. Старичок в ответ сказал: «Добрый день, маленькая девочка!» Девочка возразила, что она не маленькая, и тогда старичок спросил, сколько ей лег. Она ответила: «Я в три раза младше мамы, а мама на 2 года младше отца. Вместе нам 100 лет». Сколько лет девочке? |
Решение: пусть х- возраст девочки, 3х - возраст мамы, (Зх + 2) - возраст отца. Составим уравнение: х+3х+(3х+2)=100 х=14 О т ве т: девочке 14 лет. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Три землекопа за 2 ч выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за 5 ч? |
Решение: составим таблицу:
От в е т: за 5 ч шесть землекопов выкопают 1 5 ям. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вдоль
стен квадратного бастиона
требовалось поставить 16 часовых.
Комендант разместил их так. как показано
на рис., по 5 человек с каждой стороны. Затем
пришел полковник и, недовольный
размещением часовых,
распорядился расставить солдат так.
чтобы с каждой стороны их
было по 6. Вслед
за полковником пришел генерал,
рассердился на полковника
за его распоряжение и разместил солдат
по 7 человек с каждой стороны.
Как расставили солдат полковник и
генерал?
|
Решение:так
расставил солдат полковник (рис.1).
А генерал расставил солдат так (рис 2):
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
«Алло, Катя! Нам поставили телефон. Номер такой же, как у тебя, пятизначный. Первая цифра- простое число, следующие две цифры - двухзначное простое число, а последние две цифры получаются из предыдущей пары перестановкой и образуют точный квадрат. Так какой у меня номер телефона? | Решение: имеется всего шесть двухзначных чисел, являющиеся точными квадратами: 16, 25. 36, 49. 64, 81. по лишь одно из них после перестановки цифр образует простое число 61. Таким образом, есть четыре номера телефона, удовлетворяющие условию! 2-61 - 16; 3-61 - 16; 5-61 - 16; 7-61 - 16. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Мальчик и поросенок весят столько, сколько 5 ящиков. Поросенок весит столько, сколько 4 кошки; 2 кошки и поросенок весят столько, сколько 3 ящика. Сколько кошек уравновесят мальчика? |
Р е ш е н и е: согласно условию, М + П = 5Я, (1) П=4К, (2) 2К + П-ЗЯ (3) Подставим (2) в (3): 6К= 3Я или 2К = Я и (2) в (1): М+АК=5Я. С у четом Я = 2 К. М=4К = 10К или М = 6К. О т в е т: 6 кошек уравновесят мальчика. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Четыре чашки и один кувшин для воды весят столько, сколько 17 свинцовых шариков. Кувшин весит столько, сколько одна чашка и 7 шариков. Сколько шариков уравновешивают кувшин? |
Р е ш е н и е: если одна чашка весит столько, сколько х шариков, тогда кувшин весит столько, сколько (х+7) шариков, и следовательно: 4х + (х + 7)= 17, 5х= 10, х = 2, кувшин уравновешивают 2 + 7 = 9 шариков. О т в с т: 9 шариков.
|
![]() |
|