Решение олимпиадных задач
   Название задач

Незнайка

Шахматная доска

Улитка

Последовательность 1 

Последовательность 2

Представления чисел 1

Незнайка хвастался умением умножать в уме. Чтобы его проверить Знайка предложил написать какое-нибудь число, перемножить его цифры и сказать результат. «2 310», - немедленно выпалил Незнайка, лишь успев записать число. «Не может быть», - ответил, по­думав, Знайка. Как он обнаружил ошибку, не зная исходного числа?

Решение. 2310 = 2*3* 5*7* 11. Увы, 11 - простое двухцифровое  число.

Назад

Представление чисел 2

Расставление скобок

Сумма нечётных чисел.

Соревнования по плаванью.

Сколько нулей?

Возраст девочки.

Землекопы и ямы.

Расстановка солдат

Номер телефона

Мальчик  и поросенок.

Можно ли разрезать шахматную доску без противоположных угловых клеток на прямоугольники из двух клеток разных цветов.

Решение: поскольку противоположные по диаго­нали угловые клетки шах­матной доски всегда одного цвета, клеток одного цвета останется на две больше, чемдругого, поэтому разрезать всю доску на прямоугольники из двух разноцветных квадратиков невозможно.

Улитка взбиралась на ветку длиной 1 м . За день она поднималась по ветке на 40 см , ночью сползала вниз на 20 см . Через сколько дней улитка достигнет конца ветки?

Решение. В сутки она поднимается на 20 см , следовательно, она доберется до конца ветки через

1 +(100-40): 20 = 4 (дня).

О т в е т: через 4 дня.

Какое число нужно поставить вместо «*» в последовательности 7; 17; 37; 77; *; 317; ...?

Решение: каждое следующее число равно удвоенному пре­дыдущему, сложенному с числом 3, поэтому вместо «*» следует по­ставить число 157.

Ответ: 157.   

Какое число нужно поставить вместо «*» в последовательности 17; 23; 13; 11; *; 15?

Решение: каждое число, начиная со второго, равно сумме уд­военного числа десятков и утроенного числа единиц предыдущего числа. Вместо «*» нужно поставить число 5. Могут быть и другие способы образования подобной последовательности и тогда число, которое нужно поставить вместо «*», будет другим.

О т в ет: 5.

 

Можно ли для представления первых пятнадцати   чисел натурального ряда обойтись лишь одной цифрой 2, применяя ее только пять раз и используя арифметические действия?

Ответ - можно:

1  =2 + 2-(2 + 2:2);

2  = 2 + 2 + 2-2-2;

3  = 2 + 2-2 + 2:2;

4  = 2 * 2 *2-2 * 2:

5  = 2 + 2 + 2-2:2;

6  = 2*2 + 2 + 2-2;

7  = 22:2-2-2;

8  = 2*2*2 + 2-2;

9 = 2*2*2 + 2:2;

10      = 2*2 + 2*2 + 2;

11 =22:2 + 2-2;

12      = 2*2*2 + 2*2;

13    = (22 + 2*2): 2;

14 = 2*2*2*2-2;

15 = 22:2 + 2*2.

Можно ли первых десять натуральных чисел представить цифрой 4, применяя ее только четыре раза и ис­пользуя арифметические действия? Ответ - можно:

1 = (44) : (44);

2 = 4:4+4:4

3 = (4 + 4 + 4):4;

4 = 4 + (4 - 4)*4;

5 = (4 * 4 + 4) :4;

6 = 4+ (4 + 4):4

7 = 4+ 4-4:4

8 = 4+ 4 + 4-4

9 = 4+ 4 + 4:4;

10 =(44 - 4) :4.

В записи числа 16 + 12:4 + 2- 12 расставьте скобки так, чтобы получилось:

а) наименьшее возможное число;

б) наибольшее возможное число.

Решение:

а)(16+12)/(4+2*12)=1;

б)(16+12:4 + 2)- 12 = 252.

Найти сумму всех нечётнных чисел от 1 до 199.

Решение:

1+3 + 5+...+ 195+197+199 =(1 +199) + (3 + 197) + 99- 101 =200х50 = 10 000.

В бассейне с горизонтальным дном площадью 1 га содержится 1 млн. л. воды. Можно ли в этом бассейне проводить соревнования по плаванию?

Решение:

1 га= 10 000 м2;

V= 1 000 000 л = 1 000 м3 ;

Н= 1 000: 10 000 = 0,1 м .

Глубина бассейна 1 дм.

Соревнования по плаванию проводить нельзя!

Сколькими нулями оканчивается произведение пepвых ста натуральных чисел?
Десятки Числа Нулей

1-й

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Два

2-й

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Два

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9-й

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

Два

10-й

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Три

Таким образом, имеем: 2 * 9 + 3 = 21.
Ответ: произведение первых ста натуральных чисел оканчива­ется 21 нулем.

По улице шла девочка. Встретив старичка, она поздоровалась. Старичок в ответ сказал: «Добрый день, маленькая девочка!» Девочка возразила, что она не маленькая, и тогда старичок спросил, сколько ей лег. Она ответила: «Я в три раза младше мамы, а мама на 2 года младше отца. Вместе нам 100 лет». Сколько лет девочке?

Решение: пусть х- возраст девочки, 3х - возраст мамы,

(Зх + 2) -  возраст отца.

Составим уравнение:

х+3х+(3х+2)=100

х=14

О т ве т: девочке 14 лет.

Три землекопа за 2 ч выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за 5 ч?

Решение: составим таблицу:

Количество землекопов

Время работы, ч

Количество выкопанных ям

3

2

3

6

2

6

6

5=2*2,5

6*2,5=15

От в е т: за 5 ч шесть землекопов выкопают 1 5 ям.

Вдоль стен квадратного бастиона требовалось поставить 16 часовых. Комендант разместил их так. как показано на рис., по 5 человек с каждой стороны. Затем пришел полковник и, недовольный размещением часовых, распорядился расставить солдат так. чтобы с каждой стороны их было по 6. Вслед за полковником пришел генерал, рассердился на полковника за его распоряжение и разместил солдат по 7 человек с каждой стороны. Как расставили солдат полковник и генерал?

 

Решение:так расставил солдат полковник (рис.1).

  1               2

 

А генерал расставил солдат так (рис 2):

 

«Алло, Катя! Нам поставили телефон. Номер такой же, как у тебя, пятизначный. Первая цифра- простое число, следующие две цифры - двухзначное простое число, а последние две цифры получаются из предыдущей пары перестановкой и образуют точный квадрат. Так какой у меня номер телефона? Решение: имеется всего шесть двухзначных чисел, являющиеся точными квадратами: 16, 25. 36, 49. 64, 81. по лишь одно из них после перестановки цифр образует простое число 61. Таким образом, есть четыре номера телефона, удовлетворяющие условию! 2-61 - 16; 3-61 - 16; 5-61 - 16; 7-61 - 16.
Мальчик и поросенок весят столько, сколько 5 ящиков. Поросенок весит столько, сколько 4 кошки; 2 кошки и поросенок весят столько, сколько 3 ящика. Сколько кошек уравновесят мальчика?

Р е ш е н и е: согласно условию,

М + П = 5Я,   (1)

П=4К,       (2)

2К + П-ЗЯ (3)

Подставим (2) в (3): 6К= 3Я или 2К = Я и (2) в (1): М+АК=5Я.

С у четом Я = 2 К. М=4К = 10К или М = 6К.

О т в е т: 6 кошек уравновесят мальчика.

Четыре чашки и один кувшин для воды весят столько, сколько 17 свинцовых шариков. Кувшин весит столько, сколько одна чашка и 7 шариков. Сколько шариков уравновешивают кувшин?

Р е ш е н и е: если одна чашка весит столько, сколько х шариков, тогда кувшин весит столько, сколько (х+7) шариков, и следовательно:

4х + (х + 7)= 17,

5х= 10,

х = 2,

кувшин уравновешивают 2 + 7 = 9 шариков.

О т в с т: 9 шариков.

 

Назад, на задачи

   Назад