Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. Ропсе Петер |
Квадратные уравнения и Диофант |
Диофант
Родился. 325 г. ум. 409 г. по Р. Хр.) — знаменитый александрийский математик. О жизни его нет почти никаких сведений; даже даты его рождения и смерти не вполне достоверны. Диофант прожил 84 года, как это видно из эпитафии, составленной в виде следующей задачи: "Диофант провел шестую часть жизни в младенчестве И двенадцатую в юношеском возрасте; Затем он женился и Прожил в бездетном супружестве седьмую часть жизни И еще пять лет, После чего у него родился сын, Достигший только половины возраста отца; Отец же пережил сына на четыре года". Диофант оставил два сочинения: Арифметику в 12 или 13 книгах, из которых только первые шесть дошли до нас. В своей арифметике Диофант рассматривает целые и дробные числа и различные их степени от второй до шестой, далее которой он не идет; единицу он изображает знаком μō (μόνας), а для обозначения второй, третьей и т. д. степеней употребляет соответственно знаки μϋ (δύναμις), κ ϋ(κύβος), δδϋ и κκϋ; неизвестное же число обычно называет словом άριθμός (число). Для примера укажем на следующие две задачи: 1) представить квадрат данного числа в виде суммы двух квадратов и 2) найти два числа по данной их сумме и данному произведению. Для обозначения неизвестного и его степеней, обратных чисел, равенства и вычитания Диофант употреблял сокращенную запись слов. При умножении сумм и разностей двух чисел применял правила знаков. Имел представление об отрицательных числах, знал, что квадрат отрицательного числа равен положительному числу. Сочинения Диофанта были отправной точкой для исследований П. Ферма, Л. Эйлера , К. Гаусса и других математиков. Именем Диофанта названы два больших раздела теории чисел - теория диофантовых уравнений и теория диофантовых приближений. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот одна из его задач: «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96». Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 – х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение (10 + х)(10 – х) = 96, или же 100 - х2 = 96, х2 - 4 = 0 . Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.
Аль-Хорезми родился в эпоху великого культурного и научного подъема в исламском мире (приблизительно в 786 году) Общепризнанно, что основателем алгебры является Абу Джафар Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. Около 830 г. Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми составил первый известный арабский трактат по алгебре, заложив таким образом основы математической традиции в арабском мире, существовавшей на протяжении столетий. Научный труд «Хисаб аль-джабр уа-ль-мукабаля» («Краткая книга восполнения и противостояния») был наиболее известной и значительной из всех работ Аль-Хорезми. Общепризнанно, что данный трактат Аль-Хорезми является первым серьезным научным исследованием в данной области знаний. Причина, по которой он обратился к этой теме, была проста — он планировал учить. «Наиболее легкая и полезная вещь в арифметике, например, то, что постоянно требуется человеку в делах наследования, получения наследства, раздела имущества, судебных разбирательствах, торговых отношениях или при измерении земельных участков, рытье каналов, геометрических вычислениях, а также в других случаях». Книга начинается с введения натуральных чисел, далее идет представление главной темы первого раздела книги — решения уравнений. Все представленные уравнения являются линейными или квадратными и состоят из чисел, их квадратов и корней. Интересно отметить, что во всех книгах Аль-Хорезми математические вычисления фиксируются исключительно при помощи слов, — ни один символ, таким образом, им не использовался.
Он приводит уравнения (линейные и квадратные) к одной из шести стандартных форм:
а) квадраты равны корням;
b) квадраты равны числам;
c) корни равны числам;
d) квадраты и корни равны числам, например, x2 + 10x = 39;
e) квадраты и числа равны корням, например, x2 + 21 = 10x;
f) корни и числа равны квадратам, например, 3x + 4 = x2.
должны принимать все обстоятельства такими, как они есть, и приспосабливаться к ним и с ними мириться. Избегать крайностей, любой неуверенности и чрезмерного великодушия, заботиться не только о других, но и о себе. С хорошими друзьями и коллегами они пойдут далеко. Число 2 символизирует собой Луну. Луна имеет женские признаки Солнца, и благодаря этому числа 1 и 2 хорошо сходятся друг с другом, несмотря на то, что они зачастую имеют весьма противоположные характеры. Как число имени 2 символизирует изменчивый характер, эмоциональное и внутреннее беспокойство. Не надо беспокоиться по мелочам и всяким незначительным поводам, избегать споров и ссор. Наилучший успех принесёт совместная работа с друзьями, коллегами.
. Человек рождения числа 3 нередко живёт одним днём, будущее его не волнует, ему нужны интересные люди, приятное окружение. Тем не менее, люди числа 3 часто доходят до самых высоких ступеней в любой профессии, они честолюбивы, горды. Как число имени 3 символизирует талант, разносторонность, весёлость, указывает на науку, мир искусства и т.д. Человек с таким именем может далеко пойти, но часто обнаруживает нетерпение. Новая работа или быстрое достижение успеха может сбить такого человека с правильного пути, могущего привести к более широким возможностям.
4 – это число космических стихий: Огня, Земли, Воздуха, Воды. 4 – это четыре времени года и соответствующие им периоды жизни: весна (детство), лето (юность), осень (зрелость), зима (старость). 4 – это четыре человеческих темперамента: холерик (огонь), меланхолик (земля), сангвиник (воздух), флегматик (вода). Древними было замечено, что первые четыре числа в сумме дают «совершенное» и «всемирное» число 10 (1 + 2 + 3 + 4 = 10). Четвёрка символизирует универсальную стабильность, порядок, гармонию, рациональность. Как число дня рождения 4 – трудолюбивая осторожная натура, избегающая рискованных предприятий, старающаяся до всего дойти своим умом, без посторонней помощи. Его нельзя обманывать, и сам он должен избегать самообмана, иначе он превращается из труженика в интригана. Люди числа 4 имеют особенный характер, всё время стремятся встать в оппозицию, наживая себе немало скрытых врагов. Не имея возможности изменить числа своего рождения, надо изменить число своего имени и добиться, чтобы оно давало иное число из ряда счастливых (например, 1, 3, 5 или 6), планировать все важные дела на те даты, которые даёт это число, думайте о себе, как о новом числе. Как число имени 4 означает успех в научных и технических областях, особенно в индустрии. Более всего такой человек полезен в экстремальных ситуациях.
Число 5 символизирует отсутствие стабильности, непредсказуемость, что, в свою очередь, ведёт к неуверенности, нервозности, подвижности, риску, авантюризму, поиску окончательного результата, главным образом, опытным путём, через постоянные эксперименты, путешествия. Тем не менее, число 5 считается счастливым числом, ибо символизирует постоянный поиск и самоусовершенствование. Как число дня рождения 5 символизирует исполненную энтузиазма натуру, любящую приключения и рискованные |