Круги
Эйлера —
геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между
подмножествами, для наглядного представления.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач и упрощения
рассуждения. Прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать
условие. Иногда с помощью арифметических действий необходимо сначала упростить
решение задачи, а затем применить метод Эйлера.
Задача 1. В классе 25 учащихся. Из них 5 человек не умеют играть ни в шашки, ни в шахматы. 18 учащихся умеют играть в шашки, 20 - в шахматы. Сколько учащихся класса играют и в шашки и в шахматы?
Решение: Изобразим на кругах Эйлера данные задачи. Всех учащихся 25 человек изобразим большим кругом, учащихся, которые умеют играть в шашки- кругом II, а которые в шахматы- кругом III. Часть I от большого круга будет обозначать учащихся, которые не умеют играть ни в шахматы ни в шашки. Это 5 человек. Тогда 25-5=20 учащихся играют либо в шахматы, либо в шашки, либо в то и другое, значит часть IV равна (II+III)-20=18+20-20=18.
Ответ: 18 учащихся класса играют и в шахматы и в шашки.
Задача 2. В классе 35 учеников, каждый из которых любит футбол, волейбол или баскетбол, а некоторые- два или даже три из этих видов спорта. 24 ученика любят футбол, 18- волейбол, 12- баскетбол. При этом 10 учеников одновременно любят футбол и волейбол, 8- футбол и баскетбол, а 5- волейбол и баскетбол. Сколько учеников этого класса любят все три вида спорта?
Решение: Обозначим круг А, состоящий из частей I, IV, V и VII- количество всех учеников, любящих футбол, круг Б, состоящий из частей II, V, VI, VII- количество учеников, любящих волейбол, круг В, состоящий из частей III, IV, VI и VII- количество учеников, любящих баскетбол. Всего в классе 35 учеников, в А - 24 ученика, в Б - 18 учеников, в их общей части (V+VII)-10 учеников, в В- 12 учеников, в общей части для А и В (IV+VII)- 8 учеников, в общей части для Б и В (VII+VI)-5 учеников. Найдем количество учеников, любящих только баскетбол, т. е. часть III. 35-(24+18-10)= 3 ученика. Найдем количество учеников, любящих только футбол, т. е. часть I. 35-(18+12-5)=10. Найдем количество учеников, любящих только баскетбол, т. е. часть II. 35-(24+12-10)=7 учеников. V+VII+IV+VI=35-I-II-III=35-3-10-7=15 учеников любят два или три вида спорта. Найдем сколько учеников в группе VII. (V+VII)+(IV+VII)+(VI+VII)=10+8+5=23. IV+V+VI+VII=15. VII+VII=23-15=8. VII=4.
Ответ: 4 ученика любят все три вида спорта.